小奥数论3-因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数、最大公约数与最小公倍数

3.数论——因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数、最大公约数与最小公倍数3.1因数、约数和倍数：如果如果数a与数b相乘的积是数c,a与b都是c的因数，c就是a或b的倍数。倍数和因数是相互依存的。因数相对乘法而言，不一定是整数，如0.9×8＝7.2。如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的约数）。约数是建立在整除关系上的。一个数的约数是有限的，其中最小1，最大的约数是它本身。一个数的倍数是无限，其中最小的倍数是它本身。没有最大倍数。3.2奇数和偶数及奇偶性问题自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。奇偶性问题：奇奇=偶奇×奇=奇奇偶=奇奇×偶=偶偶偶=偶偶×偶=偶3.3质数和合数及分解质因数：一个数，如果只有1和它本身两个约数能整除它，这样的叫做质数。100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。如果除了1和它本身还有别的约数的整数，这样的数叫做合数，例如，4、6、8、9、12都是合数。1不是质数也不是合数。数论只是研究正整数，不包括0。两个质数只有1这1个公因数，则这两个数互质。天然互质的情况：连续的两个自然数；连续两个奇数；两个质数；1和任何一个大于1的自然数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如28分解质因数：28=2×2×7。注意数论中，分解质因数必须写成指数形式，如28=22×7。任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk，这被称为唯一分解定理。分解质因数一般用短除法，一般先从最小的质数到逐渐变大的质数依次除，而且一般排除到不大于稍大于余数的完全平方数的平方根就可。例如： 3.4完全平方数：一个数，若一个数能表示成某个数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。需记熟1-20的完全平方数为：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400。441,——————————841,784,729,676484,————,784,729,676529,576,625,841,784,729,676484,529,576,625,841,784,729,676①平方差：A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。③平方和公式：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab（完全平方公式的变形）； （各数的平方之和）。另外：2次方数，所以指数是2的倍数，是偶数； 3次方数，所以指数是3的倍数；4次方数，所以指数是4的倍数；3.5最大公约数和最小公倍数：【知识要点】几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。也即，一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么这个自然数就是这若干个自然数的公因数。其中最大的叫做几个数的最大公因数，也称最大公约数，用(a,b)表示。最小的公因数为1。公因数只有1的两个数，叫做互质数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。也即，一个自然数同是是若干个自然数的倍数，这个自然数就是这若干个自然数的公倍数。其中最小的叫做最小公倍数，用[a,b]。最大公约数和最小公倍数的求法：①列举法②分解质因数法：三个数以上的最小公倍数的求法，列出所有的质因数，有次方的选列最高次方的就可以；③短除法：两个数时最大公约数乘半边，最小公倍数乘半圈；三个以上的数时对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下，直到剩下每两个都是互质关系，最小公倍数还乘半圈，但最大公约不能乘半边。④辗转相除法求最大公约数；两个数时再根据公式法可求出最小公倍数； 辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个数去除前一个余数,直到余数是0为止。那么,最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质数）。例如求1515和600的最大公约数，第一次：用600除1515,商2余315；第二次：用315除600,商1余285；第三次：用285除315,商1余30；第四次：用30除285,商9余15；第五次：用15除30,商2余0。1515和600的最大公约数是15。①公式法：a×b=(a,b)×[a,b]②特殊情况，如果一个数是另个的倍数，则最大公约数为其中的小的数，最小公倍数为较大的数；互质的最大公约数为1，最小公倍数为这两个数的积；【经典例题】类型1【求公因数和最大公因数】例1刘翰和李瑶班上有24名女生和30名男生参加植树活动.如果男女分别进行分组，每组人数一样多，每组可以有几人？最多有几人？24的因数有：1,2,3,4,6,8,12，2430的因数有：1,2,3,5,6,10,15,30答：每组可能是2人，3人，6人，最多是6人。例2把1-9九个数字依不同的次序排列，可以得到个不同的九位数，求所有这些 九位数的最大公因数。1+2+3…+9=45,所以9是这些数的公因数；又因为两个九位数的差最小为9，比如和；和；所以9是这些九位数的最大公因数。类型2【多退少补求最大公因数】例1用一个数去除52,余4,再用这个数去除40,也余4,这个数最大是多少？例2幼儿园到图书馆借书，如借35本，平均分给每个小朋友查1本；如借56本，平均分给小朋友后剩2本；如借69本，平均分给小朋友差3本，问幼儿园最多有多少个小朋友？类型3【求最大公因数截长短、正方形、正方体】例1有两根钢管，一根长25米，一根长20米，把它们锯成同样长的小段，使每根不许有剩余，每段最长几米？一共要锯几次？例2有缝纫店有一块长40分米，宽25分米的布料，现在顾客要求把它裁成正方形小布块（不能有剩余），块数又要求最少，那么裁成的正方形不布块面积有多大？例3王师傅找到一块长72厘米，宽60厘米，高48厘米的长方体木料，王师傅把它锯成同样大小的正方体木块，木块的体积最大，不能有剩余，算一算，可以锯成多少块？类型4【求最小公倍数】例1张林、李强、赵希都爱在图书馆看书，张林每4天去一次，李强每5天去一次，赵希每6天去一次，上次他们是星期四在图书馆相遇的，问还要多少天他们才在图书馆再次相遇？相遇时是星期几？例2 某公共汽车站有三条不同线路，1路车每隔6分钟发一辆，2路车每隔10分钟发一辆，3路车每隔12分钟发一辆，三路车在早上8点同时发车后，至少再到什么时候又可以同时发车？例3一箱乒乓球有若干只但不足400只，如果分别按2只或3只或4只或5只或6只一袋包装，最后箱子里总剩下1只；如果按7只一袋包装，箱子里1只也不剩，那么箱子里原来有乒乓球多少只？例4有三个人在操场跑道上步行，A每分钟走80米，B每分钟走120米，C每分钟走70米，已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后三个人首次同时回到出发点？类型5【利用最大公因数和最小公倍数反求数】例1a,b两数的最大公约数为4，最小公倍数为120，问a,b各是多少？写出所有答案？类型6【最大公因数和最小公倍数与周期问题】例1有一个四边形的广场，四边长分别是60、72、96、84米，现在要在四边都种树，如果四边上每两棵树的间隔距离都相等，至少要种多少棵树？例2夜里下了场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走，小龙每步长54CM，爸爸每步长72CM，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印，那么这条小路长多少米？例3 有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果，从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到，那么这些小朋友最多有多少人？例4从运动场的一端到另一端全长120米，从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗，现例5在要改成每隔6米插一面小红旗，最多有多少面小红旗不必移动？例6街道的一边原有电线杆25根，每相邻两根间的距离都是45米，由于改建，要不每相邻两根电线杆间的距离改为60米，可以有几根不需改动？例7一个圆圈上有几十个小孔（不到100个），如果小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔2孔跳一步，结果只调到紧挨A孔左侧的B孔，每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔；每隔6孔跳一步才正好跳回到A孔，问圆圈上有多少个孔？类型7【最大公约数和最小公倍数与容斥问题】例150名同学面向老师站成一排，按老师口令，从左到右按1,2,3，…的顺序报数，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是6的倍数的同学向后转，问现在仍然面向老师的有多少名？例2