学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即若那么(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
三、完全平方数常用性质1.主要性质l完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。l在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。l完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。l若质数p整除完全平方数，则p能被整除。2.一些推论l任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。l一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。l自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。l完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。l完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。l凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。注意：1．最大公约数与最小公倍数的概念和常用性质2．由数字分解质因数的角度构造原数的方法和思想3．代数方法的应用4．完全平方数的性质和平方差公式5．约数个数计算公式的正向和反向应用6．最大公约数和最小公倍数与原数字的关系7．约数倍数知识点与其他知识点的结合8．完全平方数的性质例题精讲【试题来源】
【题目】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【试题来源】【题目】甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数.【试题来源】【题目】甲乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是l.那么乙数是多少【试题来源】【题目】一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【试题来源】【题目】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【试题来源】【题目】3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【试题来源】【题目】设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三
个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？【试题来源】【题目】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？【试题来源】【题目】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【试题来源】【题目】今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【试题来源】【题目】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【试题来源】【题目】A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?
【试题来源】【题目】某校三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么学而思学校总的的学生人数有多少人？请写出最现实的答案.【试题来源】【题目】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数？【试题来源】【题目】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？【试题来源】【题目】一个数乘2是4的倍数，乘3是9的倍数，乘4是16的倍数，乘5是25的倍数，乘6是36的倍数，乘7是49的倍数，乘8是64的倍数，乘9是81的倍数.这个数最小是？【试题来源】【题目】10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？【试题来源】【题目】已知自然数A、B满足以下2个性质：
（1）A、B不互质（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么A+B的最小值是多少？【试题来源】【题目】有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【试题来源】【题目】a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?习题演练【试题来源】【题目】1.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【试题来源】【题目】有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?
【试题来源】【题目】一个偶数，它的约数里最大的两个之和是120，求该数是多少？【试题来源】【题目】已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数为1728，求B的值。【试题来源】【题目】2个质数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，那么B的平方的4倍有多少个约数？【试题来源】【题目】已知甲数的12倍与乙数的15倍的最大公约数是1440，那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少？【试题来源】【题目】a、b、c是三个互不相等的非0自然数，他们的和是1155，则他们最大公约数的最大值是多少？最小公倍数的最小值是多少？最小公倍数的最大值是多少？
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