小学五年级奥数教案：约数、倍数、完全平方数(讲师版)

学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即若Aa(a,b),Bb(a,b),那么(a,b)1(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即(a,b)[a,b]ab(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 三、完全平方数常用性质1.主要性质完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。2若质数p整除完全平方数a，则p能被a整除。2.一些推论任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。注意：1．最大公约数与最小公倍数的概念和常用性质2．由数字分解质因数的角度构造原数的方法和思想3．代数方法的应用4．完全平方数的性质和平方差公式5．约数个数计算公式的正向和反向应用6．最大公约数和最小公倍数与原数字的关系7．约数倍数知识点与其他知识点的结合8．完全平方数的性质例题精讲【试题来源】 【题目】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【答案】24117032【解析】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=2×3×5；abc360的约数可以且只能是2×3×5,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．22我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,3,它们的和为(1+3+3),所以所有3602yw约数的和为(1+3+3)×2×5；2323我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,2,2,它们的和为(1+2+2+2)，所以所223w有360约数的和为(1+3+3)×(1+2+2+2)×5；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和223为(1+3+3)×(1+2+2+2)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数.【答案】30【解析】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×60=360，则乙数为360÷12=30．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】1【题目】甲乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是l.那么乙数8 是多少【答案】631【解析】甲数除以乙数所得的商为1，那么甲数与乙数的比为9：8，则乙数为78568甲数为7963【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【答案】96536【解析】设这个数为A,有A=2×3×5×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,5而96=2×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【答案】361,400,441,484,529,576,625．【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加132后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为2×5×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为222222219,20,21,22,23,24,25．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625． 【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【答案】81【解析】若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？【答案】20243617280【解析】本题考查对约数个数计算公式的灵活应用由公式的结果倒推，A有9个约数，那么符合公式的要求有，9(21)(21)，或者 9(01)(81)，若要求A的值尽可能小，则A不可能为某个质数的8次方的形式，那么22说明A的形式为Aab的形式，为最终满足三个数的乘积最小的要求，那么A最小为2222A23，类似的可以知道Bab,同时为满足最小要求B52。33C为8个约数情况可能有两种，Cmnp,Cmn，其中当C32时数字最小，同时三个数任意2个都不整除，所以此时三个数的乘积为20243617280【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？【答案】5【解析】依题意得:花生总粒数=12×第一群猴子只数=15×第二群猴子只数=20×第三群猴子只数,由此可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60．花生总粒数是60，120，180，…,那么：第一群猴子只数是5，10，15，…；第二群猴子只数是4，8，12，…；第三群猴子只数是3，6，9，…；所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 【答案】28【解析】1）木棍锯成的段数，比锯的次数大1。2）锯的次数并不一定是三种刻线的总和。两种刻度线重合在一起的时候，就少锯了一次。着眼点：计算出有多少两种刻度线或者三种刻度线重叠在一起的位置。把木棍看成是10、12、15的最小公倍数个单位，那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的最小公倍数，利用求最小公倍数的方法计算出重合部分的个数。[10，12，15]＝60，先把木棍60等分，每一等分作为一个单位，则第一种刻度线相邻两刻度间占6个单位，第二种刻度线占5个单位，第三种占4个单位，分点共有9＋11＋14＝34（个）。[5，6]＝30，故在30单位处二种刻度重合1次。[4，5]＝20，故在20、40单位处二种刻度重合2次。[4，6]＝12，故在12、24、36、48单位处二种刻度重合4次。共有不重合刻度34－1－2－4＝27个。从而分成28段。【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【答案】14【解析】显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【答案】18【解析】对90分解质因数:90=2×3×3×5. 因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2．因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．2第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×3×5,则甲=2×23=18；22第二种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×3×5,则甲=2×3=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．3232如a=2×3×5×7,b=2×3×5×7×11,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1332个,1个,即[a,b]=2×3×5×7×11．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?【答案】2550【解析】方法一:22由题意知A可以写成3×5×a，B可以写成3×5×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.1+x2+y1+m2+n即A:3×5,B=3×5,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[(2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，x2x1x0,或1+221+12+11+02+4所以.对应A为3×5=675,3×5=1125,或3×5=46875；y0y1y4m0由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以.对应Bn21+02+2为3×5=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．方法二: 由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个3212与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=3×5=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×4(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×5=1875．那么A,B两数的和为675+1875=2550．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】某校三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么学而思学校总的的学生人数有多少人？请写出最现实的答案.【答案】1981【解析】五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学22生人数为A，一二年级的学生人数为B，则153=（A+B）（A-B），而153=3×3×17，所以，（A+B）和（A-B）的可能值为153和1；17和9；51和3，有这三个答案得到的A和B的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然前两组答案荒谬之极，所以A=27，B=24最为现实.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为729+576+676=1981人.【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数？【答案】12、8、2.222【解析】设这三个数分别为A、B、C，那么有（A+B）（A-B）=80，（A+C）（A-C）=140，因 为140=2×2×5×7，A+C，A-C，同奇同偶，所以有（A+C=14，A-C=10）或者（A+C=70，A-C=2），分别解得（A=12，C=2）和（A=36，C=34），对于后者无法将B解出，所以A只能等于12，C=2，继而求得B=8，所以这三个数分别为12、8、2.【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？【答案】119【解析】最大公约数C，当然是D最小公倍数的约数，因此C是187的约数，187=11×17，C不等于1，只能是C=11或者C=17．如果C=11，那么D=187-11=176．A和B都是176的约数，A和B不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出C不能是11．现在考虑C=17，那么D=187-17=170，A和B是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A和B分别是34和85，A+B=34+85=119．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】一个数乘2是4的倍数，乘3是9的倍数，乘4是16的倍数，乘5是25的倍数，乘6是36的倍数，乘7是49的倍数，乘8是64的倍数，乘9是81的倍数.这个数最小是？【答案】2520【解析】依题意，这个数同时是2、3、4、5、6、7、8、9的倍数.因此，这个数最小是2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数，即[2，3，4，5，6，7，8，9]=5×7×8×9=2520.【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】3 【试题来源】【题目】10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？【答案】13【解析】设M为这10个非零不同自然数的最大公约数，那么这10个不同的自然数分别可以表示为：Ma,Ma,...,Ma，其中(a,a,...,a)112101210那么根据题意有：M(aa...a)1001711131210因为10个不同非零自然数的和最小为55，所以M最大可以为13【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知自然数A、B满足以下2个性质：（1）A、B不互质（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么A+B的最小值是多少？【答案】25【解析】设(A,B)M，那么AMa,BMb，其中a,b分别表示A,B的独有因数。那么[A,B]Mab，即有(A,B)[A,B]MMabM(1ab)35，因为A,B不互质，所以M1，而根据上面的式子M是35的因数，所以M只可能为5或7.1）当M=5时，ab=6,此时有ABM(ab)5630，或ABM(ab)55252）当M=7时，ab=4,此时有ABM(ab)7428，或ABM(ab)7535所以A+B的最小值是25。【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】3 【试题来源】【题目】有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【答案】33【解析】设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(q1q2+1)=7,即q1q2=6=2×3,无满足条件的q1,q2；第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,则q1=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即q1q2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2．所以,这个两个自然数的差为33．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?【答案】105a450222【解析】由(a,b)=75=3×5,[a,b]=450=3×2×5=75×3×2,又a﹥b所以或b75a2252[b,c]=1050=2×3×5×7.b150 a450450,75,c75,c15当时有，因为两个数的最大公约数与最小b75b,c75,c1050公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；a225a225225，150,c75,c15当时，有,则c=105,c﹤b,满足,即b150为满足条b150b,c150,c1050c105件的为一解．那么c是105.【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】4习题演练【试题来源】【题目】1.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【答案】30【解析】30【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】1【试题来源】【题目】有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?【答案】10【解析】10【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【试题来源】【题目】一个偶数，它的约数里最大的两个之和是120，求该数是多少？【答案】80【解析】80【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数为1728，求B的值。【答案】108【解析】108【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】2个质数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，那么B的平方的4倍有多少个约数？【答案】9【解析】9【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知甲数的12倍与乙数的15倍的最大公约数是1440，那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少？【答案】24【解析】24【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】a、b、c是三个互不相等的非0自然数，他们的和是1155，则他们最大公约数的最大值是多少？最小公倍数的最小值是多少？最小公倍数的最大值是多少？【答案】165，630，57065085【解析】165，630，57065085【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4