六年级奥数. 数论.质数、合数、约数、倍数 (ABC级).学生版

质数合数、约数倍数知识框架一、质数与合数一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。质数有无限多个。最小的质数是2。合数有无限多个。最小的合数是4。常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017．三、约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 (4)0被排除在约数与倍数之外1.求最大公约数的方法l分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：，，所以；l短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：，所以；l辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：；；；；；所以1515和600的最大公约数是15．2.最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以．3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求．4.约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数一、倍数的概念与最小公倍数1.倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数1)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数2)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。2.求最小公倍数的方法分解质因数的方法；例如：，，所以；短除法求最小公倍数；MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 例如：，所以；．1.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．2.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求．例如：注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：3.倍数、公倍数、最小公倍数的关系（1）倍数是对一个数说的；（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数一、最大公约数与最小公倍数的常用性质1.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数．2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即，此性质比较简单，学生比较容易掌握。3.对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍数为MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 注：性质3不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。一、求约数个数与所有约数的和1．求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。如:1400严格分解质因数之后为，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。2．求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：，所以21000所有约数的和为此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。重难点（1）特殊质数2、5，质数的个位数特征（2）要注意观察约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；（3）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为的结构，而且表达形式唯一”例题精讲【例1】在19、197、2009这三个数中，质数的个数是（）.（A）0(B)1(C)2(D)3MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 【巩固】大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？【例1】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为，其中，而且和都是质数(和是两个数字)．具有这种形式的数共有多少个？【巩固】自然数是一个两位数，它是一个质数，而且的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【例2】一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 【巩固】三位数满足：它的所有质因数之和是。这样的三位数有个。【例1】用数字卡片1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把6倒过来当作9，也不许把9倒过来当作6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________．【巩固】如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？【例2】都是质数，如果，那么。【巩固】，，都是质数，并且，，，那么____。MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 【例1】将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？【巩固】将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？【例2】有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______。【巩固】万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【例3】用L表示所有被3除余1的全体正整数．如果L中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数”是什么？MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 【巩固】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）【例1】一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是________.【巩固】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【例2】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？【巩固】若a,b,c是三个互不相等的大于0的自然数，且a+b+c=1155，则它们的最大公约数的最大值为，最小公倍数的最小值为，最小公倍数的最大值为．MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 【例1】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【巩固】恰有8个约数的两位数有________个．【例2】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？【巩固】加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）【例3】一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 【巩固】一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有多少人？【例1】两个自然数a，b的最小公倍数等于50，问a＋b有多少种可能的数值?【巩固】已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。求b与c的最小公倍数。【例2】如图，在长500米、宽300米的长方形广场的外围，每隔2.5米摆放一盆花，现要改为每隔2米摆放一盆花，并且广场的4个顶点处的花盆不动，则需增加___盆花；在重新摆放花盆时，共有___盆花不用挪动。MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 【巩固】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？课堂检测【随练1】炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【随练2】用0-9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是。【随练3】用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 【随练1】三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．【随练2】甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？家庭作业【作业1】图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 【作业1】从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【作业2】已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为【作业3】用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________．【作业4】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来.【作业5】将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 【作业1】少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有个小朋友。【作业2】3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，外圈跑道长千米.甲每小时跑千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米.问他们同时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点?【作业3】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【作业4】如图，A、B、C是三个顺次咬和的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当B转4圈时，C恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15 教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版Page15of15