小学数学五年级讲义13-最大公约数、最小公倍数

最大公约数与最小公倍数一、最大公约数定义如果一个数同时是几个数的约数，那么我们就称它为这几个数的公约数。几个数的公约数中最大的一个，称为这几个数的最大公约数。一般地我们用(a,b)表示a,b这两个自然数的最大公约数，如(12,30)=6,如果(a,b)=1,则称a,b两数互质。二、求最大公约数一般有以下儿种方法：1、短除法：求两个(或几个)数的最大公约数一般采用短除法。例1：有三根铁丝，长度分别120厘米、180厘米和300厘米，现在要把他们截成相等地小段，每根无剩余。问每段最长多少厘米？一共可截得多少段？解：因为30|1201803002丨4610235所以(120,180,300)=30X2=601204-60=2180一60=3300—60=5因此，每段最长60厘米，一共有2+3+5=10(段)答：每小段最长60厘米，一共可截成10段。2、分解质因数法：分解质因数是求最大公约数的最直接的方法。例2：将卫竺化成最简分数。11555解：因为6933=3X231111555=5X2311所以蛙21155553、将佼小数缩小倍数法：当所求两数(或几个数)较小时经常用例3：(1)求12,36和48的最大公约数。较小数是12,12是36的约数，12也是48的约数，(12,36,48)=12(2)求18,24和36的最大公约数。较小数是18,可是18不是24和36的公约数，把18缩小2倍是9也不是24和36的公约数；再将18缩小3倍是6,6是24和36的公约数，所以(18,24,36)=6三、最小公倍数定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；几个自然数的公倍数(除0以外)中，最小的一个叫做这几个自然数的最小公倍数。一般地，我们用［a,b］表示自然数a,b的最小公倍数，女叩2,18］=36o四、最小公倍数的求法：1、分解质因数：例1：在总站1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一•辆和5路车每隔20分钟发一辆。问：当这三路车同时发车后，至少要过多少分钟这三路车又会同时发车？解：2|101520551510[10,15,201=2X5X1X3X2=60答：至少需要过60分钟这三路线的车乂会同时发车。qX/h 2、利用最大公约数来求最小公倍数：[a,b]（a,b）例2：求45和72的最小公倍数解：（45,72）=945x72所以[45,72]=—^=3603、大数扩倍法：（适用于儿个数较小时）例3：求30,15和18的最小公倍数解：取最大值30,30不是18的倍数；再取30X2=60,60仍然不是18的倍数；再取30X3=90,90是15的倍数，也是18的倍数。所以，30,15和18的最小公倍数是90。五、最大公约数和最小公倍数的应用例1：一位阿姨在河边洗碗，邻居问家里来了多少人？她回答说：“客人每人用一只饭碗，每两人合用一只菜碗，每三个人合用一只汤碗,共用了66只碗。”问她家究竟来了多少客人？【分析】：由题目条件可知客人的人数应是2、3的公倍数。因为[2,3]=6,所以客人的人数为6的倍数。又因为6个人只用6只饭碗、3只菜碗、2只汤碗，即只用了11只碗，而客人共用了66只碗，是11只碗的6倍，所以客人的人数也是6人的6倍，即共有36位客人。例2：现有五千多颗螺丝钉。2颗装一袋，装到最后剩1颗；3颗装一袋，最后还是剩1颗;按4、5、……、10颗一袋，最后还是剩一颗。问螺丝钉到底有多少颗？例3：有一个两位数，被9除余7,被7除余5,被3除余1,求这个两位数。【分析】：根据题目条件仔细观察之后可发现，余数比除数小2,如果将原数加2之后，将能被9、7、3同时整除，就是说原数加2后是9、7、3的公倍数。例4：一个三位数被11除余10,被6除余4,被4除余2,这个三位数最小是多少？【分析】：此题与例3不同，除数与余数的差并不想等，我们通过分析可看到，此数被4余2,如果从所得的商减1,则余数增加4,若所得的商减2,则余数变为4+4+2=10；此数被6除余4,如果在所得的商中也减少1,则余数增加6,即余数变为6+4=10；此时可看到所求的三位数分别被11、6、4的最小公倍数，再加10就是所求的三位数。例5：文化辅导班的教材不够，暂时每两人用一本语文课本，每三人用一本数学课本，每四人用一本英语课本，全班共用了91本课本。问全班有多少人？ 例6：甲、乙、丙三个同学定期为残疾人打扫卫生，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果4月30日三个同学恰好同吋去，问下一次三人同时去是几月几号？例7：加工某种零件要三道工序。专做第一道工序的工人，每人每小吋可以完成48个；专做笫二道工序的工人，每人每小时可以完成32个，专做第三道工序的工人，每人每小时可以完成28个，三道工序至少各耍多少工人搭配，才最适当？【习题】1、老师要把301个笔记木，215支铅笔和86块橡皮分成相同的奖品，问最多可以分成多少份相同的奖品？每份奖品有笔记本、铅笔和橡皮各多少？2、两个数的最大公约数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少?3、求岀用32、36、48去除时都余15的最小自然数。4、一批图书有600多本，若24本包一捆，最后一捆差2本，若28本包一捆，最后一捆还是差2本，问这批图书有多少本？5、求一个最小的自然数，这个数被3除余2,被4除余3,被5除余4。6、一个班上体育课，平均2人一个排球，3人一个足球，4人一个篮球，共需要52个球。问：这个班有多少个学生？ 7、有一箱连环画，把它平均分给6个小朋友多1本；平均分给8个小朋友多3本；平均分给9个小朋友多4本。问：这箱连环画最小有多少本？8、辅导班的教材不够，暂吋每两人用一本语文课本，每三人用一本数学课本，每四人用一本英语课本，全班共用了91本课本。问全班有多少人？9、加工某种零件要三道工序。专做笫一道工序的工人，每人每小时可以完成4个；专做笫二道工序的工人，每人每小时可以完成5个，专做第三道工序的工人，每人每小时可以完成15个，三道工序至少各要多少工人搭配，才最合理？