[生活]2013-12-28-最大公约数最小公倍数-讲义

最大公因数与最小公倍数理论部分基本概念:公因数和最大公几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。例如：12的因数有1,2,3,4,6,12；30的因数有1,2,3,5,6,10,15,30。12和30的公因数有1,2,3,6,其中6是12和30的最大公因数。一般地我们用(a,b)表示a,b这两个自然数的最大公因数,如(12,30)二6。如果(a,b)二1,则a,b两个数是互质数。2、公倍数和最小公倍對几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12的倍数有12,24,36,48,60,72,…18的倍数有18,36,72,90,・・・12和18的公倍数冇：36,72…其中36是12和18的最小公倍数。一般地，我们用［a,b］表示自然数,a,b的最小公倍数,如［12,18］二36。3、最大公因数与最小公倍数的求法A.最大公因数求两个数的最大公因数一般有以下儿种方法(1)分解质因数法(2)短除法(3)辗转相除法(4)小数缩倍法(5)公式法前两种方法在数学课本屮已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。当两个整数不容易看出公因数时(一般是数字比较大)，我们可以合用辗转相除法。B.最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法:(1)分解质因数法(2)短除法(3)大数翻倍法(4)aXb=(a,b)X［a,b］ 上而的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积。 例1、437与323的最大公因数是多少？分析与解求两个数的最大公约数常用無转相除法：先将大数除以小数，如果整除，那么小数就是它们的最大公约数；如果不能整除•就记F余数,用前面的除数（即小数）除以这个余数。以下类推，毎次都用前一个除式的除数除以自己的余数，直到有一个除法能整除•这时，最后能整除的除式的除数就是这两个数的最大公约数.所以，（437.323）=19・注自然数的最人公约数记作W横式法；437-5-323=1（余114卄323+114=2（余95）I114-5-95=1（余19”95-5-19=5.所以，（437,323〉=19・323437228323951149595019例2、24871和3468的最小公倍数是多少？解先用報转相除法求山两数的瑕人公约数，再用网数之积除以最人公约数，商就是最小公倍数.724871242763468297551595493449340811028558585♦1702487X346817（24871,3468）=17.C24871,34687=5073684.例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪块。【分析】：根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公因6。所以原t方形的t要分904-6=15段，宽要分424-6=7段，至少能剪17X7=105（块）解：（1）求90和42的最大公因数2|90423|4521157（90,42）=60（2）求至少剪多少块止方形铁板904-6=15454-6=715X7=105（块） 答：至少可以剪105块止方形铁板。说明：用短除法求小数的最犬公因数比较容易。例4、10个自然数之和等于1001,求这十个自然数的最大公因数可能取的最大值是多少？解这10个自然数的最大公约数应能整除这十个数的和1001,而1001=7X11X13.要想这十个数的最大公约数取得最大，则需使这十个数也尽輦大・1001的约数有"001,143,91,77,13,11,7」.很明显，这10个数的最大公约数不可能取1001•因为1001=143X7至多是7个143的和，不可能分成卜个以143为公约数的和，所以最大公约数也不能是143・由1001=91XII,即可取9个91,1个182为这十个自然数,那么它们的最大公约数为91•这符合题目条件的最大值.所以这10个自然数的最大公约数可能取的最大值是91・27290120)3645601215202144180240例5、用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？【分析】：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同,即分装的袋数应是144,180,240的公因数。题目耍求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144,180,240的最大公因数。所以(144,180,240)=2X2X3=12,即每60元的茶叶分製成12袋，每袋的价格最低是60宁12二5(元)。例6、用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,［大是多少?【分析】：因为498,450,414除以a所得的余数相同，所以它们两两Z差的公因数应能被a整除。498-450二48,450-414二36,498-414二84。所求数是(48,36,84)二12。例7、现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？【分析】：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公因数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公因数一定是1111的因数。因为1111=101X11,它的因数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个口然数都小于1111,1111不可能是三个口然数的公因数，而101是可能的，比如取三个数为101,101和909。所以所求数是101。例8、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？【分析】：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要 走整圈数，所以需要的时间应是60,75,90的公倍数。所求时间为[60,75,90]二900（秒）=15（分）。例9、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？【分析】：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄井是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5,4,3,2,1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6,5,4,3,2的公倍数。[6,5,4,3,2]=60,爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在小明的年龄二60=（7-1）二10（岁）,爷爷的年龄=10X7=70（岁）。例10、甲、乙、丙三人定期向王老师求教。甲每隔6天去一次，乙每隔8天去一次，丙每隔9天去一次。如果6月17日他们三人都在王老师家见面，那么下一次三人都在王老师家见面的时间是几月几日？解甲、乙、丙三人去王老师家的相隔时间不同•从6月17H他们三人在王老师家见面起，到再次见面的间隔时间应是他们各自到干•老师家求教的间隔时间的公倍数•即6,8,9的公倍数.又因为要求从6月17H到下一次见面的时间，所以应求6,8,9的最小公倍数.〔6,&9〕=72・也就是说°他们从6月17日见面后，再过72天又次见面・即8）]28口再次见面・例11、有甲、乙两个互相衔接的齿轮，甲轮有437齿，乙轮有323齿，甲的某一齿与乙的某一齿从第一次接触到第二次接触，需要各转几周？解本题实际上要先求岀437与323的最小公倍数，要用它们的最小公倍数除以它们各自的齿数,即为需要转的周数.[437,323]=7429・甲轮转：7429・437=17（周）.乙轮转：7429弓323=23（周）.[例12、加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成48个，第二道工序每个工人每小时可完成32个，第三道工序每个工人每小时可完成28个。在每道工序至少安排多少工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压或停工待料。解要搭配合适,就是要在每小时内使各道匸序加工出的零件数相同，为此，需求出48,32和28的最小公倍数・[48,32,28]=672,故第一道工序安排672—48=24（人）；第二道工序安排6724-32=21（人）；第三道工序安排672—28=24（人）.这样，可以使每道工序不产生积压或停工待料. 例13、有一堆苹果共五千多个，按10个装一袋，装到最后少一个；9个装一带，最后还少1个；按8个，7个，…，2个装一袋，总是少1个。这堆苹果到底有多少个？解根据题意9这堆苹果数应是10,9,8,7,…，3,2的公倍数减1.所以，只要求出10,9,8,…，3,2在5000至6000范围内的公倍数即可.[10,9,8,—,3,2]=2520,'2520X2=5040,5040-1=5039.所以，所求苹果数为5039个.例14、能同时被2,3,4,5,6,7,8,9,10这九个数整除的最大六位数是多少?解依据题意，可知所求最大的六位数是2,3,4,5,6,7,8,9,10的公倍数.而这几个数的最小公倍数是：[2,3,4,5,6,7,8,9,10]=[5,7,8?9]=2520・因为999999—2520=396（余2079）,由此可知符合题意的最大六位数是：2520X396=997920(或999999-2079=997920).例15.三个连续的自然数的最小公倍数是168,那么这三个自然数的和等于【分析】：168=23X3X7,因此这三个连续自然数是6,7,8。和为6+7+8=21.例16、甲数是24,甲、乙两数的最小公倍数是168,最大公因数是4,求乙数。解因为4X168=24X乙数，所以，乙数=4X168—24=28・例17、已知甲、乙两数的最大公因数是6,最小公倍数是36,求甲、乙两数。解设甲数为工，乙数为”且久＞〃依题意冇工=6a,y=6久其中。与6互质.那么"和歹的最小公倍数是：6X^X6,就是说6XaX"=36・aX方=6=6X1=3X2・即①若q=6"=1时，则工=6X6=36*=6X1=6・②若么=3”=2时，则乂=6X3=18*=6X2=12・故甲、乙两数分别为36/或18,12・例18、两个自然数的最大公因数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77,求这两个自然数。【分析】：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个口然数的最大公因数是1,最小公倍数是30。这两个口然数的和是11,求这两个口然数。” 改变以后的两个数的乘积是1X30=30,和是11。30=1X30=2X15=3X10=5X6,由上式知，两个因数的和是11的只有5X6,且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是7X5=35和7X6二42。c的最小公倍数是120,求例19、已知a与b,a与c的最大公因数分别是12和15,a,b,【分析】：因为12,15都是3的因数，所以3应当是12与15的公倍数，即是[12,15]=60的倍数。再±[a,b,c]二120知，a只能是60或120。[a,c]二15,说明c没有质因数2,乂因为[a,b,c]=120=23X3X5,所以c二15。因为a是c的倍数，所以求a,b的问题可以简化为：“a是60或120,(a,b)=12,[a,b]=120,求a,b。”当a二60时，b=(a,b)X[a,b]4-a=12X1204-60=24；当a二120时，b=(a,b)X[a,b]4-a二12X120F120二12。所以a,b,c为60,24,15或120,12,15。2£12例20、求広，35,矗的最大公因数。分析求儿个最简分数的最大公约数的方法是:取各最简分数分子的最大公约数做为分子，取各最简分数分母的最小公倍数做分母，所得的新分数就是这儿个最简分数的最大公约数・912153解(9,12,15)=3,〔28,35,56X280,(瓠益，誘)二两・求一组分数的最大公因数的方法：(1)先将各个分数化为假分数；(2)求出各个分数的分母的最小公倍数％（3）求出各个分数的分子的最大公因数b；_9_22_15例21、求西，看，矗的最小公倍数.分析求儿个最简分数的最小公倍数的方法是：取各分数分子的最小公倍数做分子,取各分数分母的最大公约数做分母，所得到的新分数就是这几个最简分数的最小公倍数・解〔9,12,15〕=180,(28,35,56)=7,〔备挣=爭=25求一组分数的最小公倍数的方法：（1）先将各个分数化为假分数;（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分母的最大公因数b；例22、三条圆形跑道，圆心都在操场中心的旗杆处，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外 圈跑道上沿同样的方向跑步。开始时三人都在旗杆的正东方向。里圈、中圈、外圈跑道分别丄丄？丄长匚公里，忆公里，§公里。甲、乙丙三人的速度每小时分别为辺公里，4公里，5公里。三人同时出发后，几小时第一次同时回到出发点？解①先求岀甲、乙、丙各跑一圈所需的时间：甲：+十3+=書"小时）；乙：+*4=岂（小时）;416丙盲一5=历（小时）•②把舊吕境先通分，再求分d的最小公倍数：韵'篇'盏'三个分数分尹的最小公倍数是3360-三人第一次同时回到出发点的时间:豐=6（小时）.专业好文档精心整理欢迎下载