第12-13讲 最大公约数与最小公倍数

第12讲最大公约数与最小公倍数（一）  如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。  如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。  如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，…，an的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。  常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。  例1用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？10   分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。  所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。  为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。  例2用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？  分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。  498-450=48，450-414=36，498-414=84。  所求数是（48，36，84）=12。  例3现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？10   分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。  例4在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？   分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）  小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。  所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。  例5甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？10   分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90的公倍数。所求时间为[60，75，90]=900（秒）=15（分）。  例6爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？  分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。  [6，5，4，3，2]=60，  爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在  小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁），  爷爷的年龄=10×7=70（岁）。  练习12  1.有三根钢管，分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？  2.两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。10   3.用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数？  4.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个花圃的周长是多少米？  5.有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？  6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次。9点时三条线路同时发车，下一次同时发车是什么时间？  7.四个连续奇数的最小公倍数是6435，求这四个数。第13讲最大公约数与最小公倍数（二）  这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。  在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法  可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么  （18，12）×[18，12]  =（2×3）×（2×3×3×2）  =（2×3×3）×（2×3×2）10   =18×12。  也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：  两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，  （a，b）×[a，b]=a×b。  例1两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。  解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。  例2两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。  分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”  改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。  30=1×30=2×15=3×10=5×6，  由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是  7×5=35和7×6=42。  例3已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。10   分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。  因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”  当a=60时，  b=（a，b）×[a，b]÷a  =12×120÷60=24；  当a=120时，  b=（a，b）×[a，b]÷a  =12×120÷120=12。  所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。    要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？  分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数，[6，4，9]=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80，  （150，135，80）=5。10   上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装  在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。  如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。  由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：  （1）先将各个分数化为假分数；  （2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；  （3）求出各个分数的分子的最大公约数b；      类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。  如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。  求一组分数的最小公倍数的方法：  （1）先将各个分数化为假分数；10   （2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；  （3）求出各个分数的分母的最大公约数b；    一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？    同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为      所以黄鼠狼掉进陷井时跳了311/2÷63/10=5（次）。  黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了      练习13  1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。10   2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？  3.求下列各组分数的最大公约数：    4.求下列各组分数的最小公倍数：           部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？   于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。10