【精品】六年级下册数学试题-第四节 约数与倍数 全国通用

第四节约数与倍数知识提要：约数、公约数与最大公约数（1）约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数；（2）公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；（3）最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；（4）0被排除在约数与倍数之外（一）求最大公约数的办法（1）分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．（2）短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：，所以（12，18）＝2×3＝6（3）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．（如：要求42和140的最大公约数，那么140÷42＝3……14；42÷14＝3.最后一个式子的除数14就是42和140的最大公约数）（二）最大公约数的性质（1）几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；（2）几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；（3）几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．倍数的概念与最小公倍数 （1）倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数（2）公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数（3）最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。（一）求最小公倍数的方法（1）分解质因数的方法；（2）短除法求最小公倍数；例如：，所以[18，12]＝2×3×3×2＝36；（3）[a，b]＝a×b（a，b）（二）最小公倍数的性质（1）两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．（2）两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．（3）两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．最大公约数与最小公倍数的常用性质两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。K如果k为A、B的最大公约数，且A＝ka，B＝kb，那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为kab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：（1）A×B＝ka×kb＝k×kab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；（2）最大公约数是A、B、A＋B、A－B及最小公倍数的约数。（二）两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即（a，b）×[a，b]＝a×b（三）对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为（1）奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，即这三个数的最小公倍数等于这三个数的乘积；（2）偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍， 即这三个数的最小公倍数等于这三个数乘积除以2.小练习求出下列每组数的最大公约数或最小公倍数：（28,72）；[28，72]；（28,44,260）；[28,44,260]（36,99）；[28,72];（391,357）；[391,357]；（18,24,36）；[18,24,36];（24,28,42）；[24,28,42]例题1把一张长135厘米、宽105厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？练习1：（1）一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？（2）有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？例题2 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？练习2：（1）甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？（2）加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）例题3（1）一个数和24的最大公因数是8，最小公倍数是120，那么这个数是多少？（2）已知两个自然数的和为50，最大公因数为5，求这两个数的差．练习3：（1）已知A、B两数的最小公倍数是180，最大公约数是30，若A=90，则B等于多少？ （2）已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．（3）已知正整数A,B之差为120，它们的最小公倍数是最大公约数的105倍，那么A,B中较大的数是多少？例题4（1）120有多少个不同的约数,这些因数的和是多少，这些因数的积是多少？（2）16200有多少个约数？其中有多少个是5的倍数？有多少个因数是奇数？练习4：（1）480有多少个约数？其中有多少个是5的倍数？有多少个是2的倍数？有多少个是3的倍数？（2）54有多少个约数？这些约数的和是多少？这些约数的积是多少？ 例题5在1至2000这些整数里，是3的倍数但不是5的倍数的数有多少个？练习5：在1-1000中，不能被5和7整除的数共有多少个？例题6已知两个自然数的和为55，它们的最小公倍数与最大公约数的差为115，求这两个自然数．练习6：已知两个自然数的和为297，它们的最小公倍数与最大公约数的和为693，求这两个自然数的差是多少？例题7甲、乙两个不同的自然数，它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，它们最大公约数是12，请问：甲乙两数之和是多少？ 例题8整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D。已知C不等于1，也不等于A或B，C＋D＝187，则A＋B等于多少？1、a＝2×3×m，b＝3×5×m（m是自然数且m≠0），如果a和b的最大公约数是24，则m是多少？2、一个三位数是5的倍数，它能被3整除，又是偶数，这个数最大是多少？3、有一个自然数，它最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是308，则这个自然数是多少？4、已知两个自然数的和为667，它们的最小公倍数与最大公约数的商为120，求这两个自然数． 课后巩固1、有三根铁丝，一根长54米，一根长24米，一根长36米，要把他们截取成同样成的小段，不许剩余，每段最长是多少米？2、有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃．中午12点整，电子钟响铃又亮灯．问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？3、已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？4、504有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？5、小马和小虎计算甲、乙两个两位数的乘积，小马把甲数的个位数字看错了，得乘积473；小虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？