2021年北师大五年级奥数专题三《最大公约数和最小公倍数》精编

学习必备欢迎下载最大公约数和最小公倍数一、基本概念和学问1、公约数和最大公约数几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数；我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b），假如（a、b）=1，就a、b互质；2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数；自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕，当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b；3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着以下关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕=a×b二、方法篇短除法（最大公约数）（1）必需每次都用n个数的公约数去除；（2）始终除到n个数的商互质（但不肯定两两互质）；（3）n个数的最大公约数即为短除式中全部除数的乘积；短除法（最小公倍数）（1）必需先用（假如有）n个数的公约数去除，除到n个数没有除去1以外的公约数后，学习必备欢迎下载在用n1个数的公约数去除，除到n1个数没有除1以外的公约数后，再用n2个数的学习必备欢迎下载公约数去除，如此连续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要连续除，肯定要除到n个数的商两两互质为止；（3）n个数的最小公倍数即为短除式中，全部除数和最终两两互质的商的乘积；辗转相除法（最大公约数）设两数为a、b〔a>b），求a和b最大公约数〔a，b）的步骤如下：用b除a，得a÷b=q......r1〔0≤r1）；如r1=0，就（a，b〕=b；如r1≠0，就再用r1除b，得b÷r1=q......r2〔0≤r2）.如r2=0，就（a，b〕=r1，如r2≠0，就连续用r2除r1，⋯⋯如此下去，直到能整除为止；其最终一个非零除数即为（a，b）；PS:求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法、断除法、辗转相除法等方法；三、例题全解例1、求2520、14850、819的最大公约数和最小公倍数；（用因数分解法） 学习必备欢迎下载例2、求36、108、126的最大公约数和最小公倍数；（用短除法）例3、用辗转相除法求4811和1981的最大公约数；试一试1、求35、98、112的最大公约数和最小公倍数；（用因数分解法）2、求403、527、713的最大公约数和最小公倍数；（用短除法）3、用辗转相除法求2597和7049的最大公约数；例4、有一位男同学要整理三种厚度分别为30毫米、24毫米和18毫米的一堆书，他只能将厚度相同的书叠在一起，叠成高度一样的三叠，使书得高度尽可能小；这样的整理共用了多少本书？试一试1、甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，假如3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是月日； 学习必备欢迎下载例5、有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例6、加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，其次道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各安排几个工人？例7、一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参与会餐的人数是多少人？例8、设a=36，b=54，证明（a，b）×[a，b]=a×b；例9、两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？试一试1、设a=108，b=720，证明（a，b）×[a，b]=a×b；例10、现有4个自然数，它们的和是1111,；假如要使这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大是多少？； 学习必备欢迎下载试一试1、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？2、有许多方法可以将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和；对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数最大值是多少？例11、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，仍可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？四、学问巩固1、用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？2、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？3、求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？4、求21672和11352的最小公倍数； 学习必备欢迎下载5、甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？6、一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？7、已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数；8、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？9、将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？10、一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出如干个地雷后，净重183千克.求一个地雷的重量？课后选看1、甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商为12，如甲、乙两数差为18，这两 学习必备欢迎下载个数分别是多少？解：设最大公约数为X,甲为AX,乙为BX依据两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12得A×B=12依据甲乙两数的差是18得〔A-B〕X=18可知A、B只能为3、4得X=18所以两数分别为54和72；2、在一根长的木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，其次种将木棍分成12等份，第三种刻度线将木棍分成15等份，假如沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？解：最小公倍数问题；10，12，15的最小公倍数是60；把这根木棍的1/60作为一个长度单位，这样：木棍10等份的每等份长6个单位；12等份的每等份长5单位；15等份的每等份长4单位．不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14〔相应于10，12，15等分〕，共计34个；（10，12，15）＝60，设木棍60厘米60÷10＝6厘米，60÷12＝5厘米，60÷15＝4厘米10等分的为第一种刻度线，共10－1＝9条12等分的为其次种刻度线，共12－1＝11条15等分的为第三种刻度线，过15－1＝14条第一种与其次种刻度线重合的（6，5）＝30，60÷30－1＝2－1＝1条第一种与第三种刻度线重合的（6，4）＝12，60÷12－1＝5－1＝4条其次种与第三种刻度线重合的（5，4）＝20，60÷20－1＝3－1＝2条三种刻度线重合的没有，（6、5、4）＝60因此，共有刻度线9＋11＋14－1－4－2＝27条，木棍总共被锯成27＋1＝28段；由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必需从34中减1．又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必需再减去2，同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必需再减去4