2014年华约数学试题分析
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2014年华约数学试题分析

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资料简介
2014年华约高水平大学自主选拔学业能力测试数学试题分析报告2014年华约数学试卷的题型结构与2013年基本没有区别,由7个解答题组成,试题难度略有下降,无偏题怪题,但是有难题。带有高等数学背景的函数或数列题是华约试卷的重点,今年也不例外。华约的数学试题更偏重考察基本的数学思想、严谨的数学训练,重视细节、步骤与严谨的推理,所以很多题目,考生有了解题思路之后,实际解题过程也会有一定难度。一、(本小题满分10分)已知x,x,x,x,x是正整数,任取四个其和组成的集合为44,45,46,47,求这五个12345数.解:五个数任取四个可以得到五个和值,故必有两个和值相同.而这五个和值之和为4xxxxx,为4的倍数,所以这个相同的和值只可能是46,从而123454445464746xxxxx57,123454这五个数分别为574413,574512,574611,574710,574611,即10,11,11,12,13.【点评】此题为集合题,顺带考查数论中的整除知识,在天学网校自主招生强手营第一和第二阶段的讲义中均有涉及.【难度】中等二、(本小题满分15分)1乒乓球比赛,五局三胜制,任一局甲胜的概率是pp(),若甲赢得比赛的概率是q,求p2为多少时,qp取得最大值.3解:若共比赛了3局,则甲赢得比赛的概率为p;若共比赛了4局,则最后一局甲胜,甲北京华夏天天教育科技有限公司1/6 23赢得比赛的概率为Cp1p;若共比赛了5局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为3232Cp1p,因此4323232qpCp1pCp1p,34323232543qppCp1pCp1pp6p15p10pp,345431设fp6p15p10ppp,则24322121fp30p60p30p130pppp,30301111111当p,,fp0;当p,1,fp0,所以fp2243024301111在,1先增后减,当fp取得最大值时,p.22430【点评】这是一道部分伯努利概型和函数极值相结合的问题,考查了对于使用导数求极值和最值的方法,是天学网校强手营第一和第二阶段课程的重点内容.【难度】中上三、(本小题满分15分)11(Ⅰ)证明yfgx的反函数为ygfx;11(Ⅱ)Fx()f(x),Gx()f(x),若Fx()G()x,求证:fx()为奇函数.证明:(1)yfgx的反函数为xfgy,故11fxffgygy,111gfxggyy,11所以yfgx的反函数为ygfx.(2)由于Gx()的反函数是Fx(),故1GFx()GGxx,北京华夏天天教育科技有限公司2/6 1fxfGFx()ffFxFxfx,所以fx为奇函数.【点评】抽象函数问题,考查学生们对于反函数的理解,天学网校强手营第一阶段的课程中,对于逆映射有过很多的讨论,完全适用于该题。【难度】中等四、(本小题满分15分)2π函数fx()(cosxsin)sin(xx)2sinaxb的最大值为1,最小值为4,求a,24b.12221解:fx()(cosxsinx)2sinaxb=sinx2sinaxb,问题等价于2221gtt2atb在1,1上的最大值和最小值分别为1和4.下面讨论对称轴2ta与1,1的相对位置情况:021若a1,即a1,则gtt2atb在1,1上单调递减,25g11,g14,解得a,b1;4若1a0,即0a1,则ga1,g14,解得a15(舍去);5综上a,b1.4【点评】这是一道三角函数值域和部分区间上二次函数的值域问题,可以通过讨论二次函数对称轴位置的方法做出,在天学网校强手营第二阶段的讲课中特别讲到过。【难度】中等五、(本小题满分15分)22xy222已知椭圆1与圆xyb,过椭圆上一点M作圆的两条切线,切点分别为22abP,Q,直线PQ与x轴,y轴分别交于点E,F,求EOF面积的最小值.222解一:设Macos,bsin0,2π,直线PQ为点M关于圆xyb的极线,北京华夏天天教育科技有限公司3/6 2其方程为acosxbsinyb,从而2bbx,y,EFacossin331bb22Sxy,当且仅当M坐标为a,b上述等号成立.EOF2EFasin2a222解二:设椭圆上的动点M坐标为x,y,则直线PQ的方程为xxyyb,其与坐标轴000022422bbbxy00的交点分别为,0,0,,故S,且1,由均值不等式可知xyOEF2xya2b200002243xy2xyabbb00001,故xy,得到S.2200OEFabab22xya00【点评】椭圆中三角形面积最值问题,使用切点弦的方法解决,在天学网校强手营第二阶段解析几何一部分中有所讲解.【难度】中上六、(本小题满分15分)n已知数列a满足:a0,anpqa.n1n1n(Ⅰ)若q1,求a;n(Ⅱ)若p1,q1,求证:数列a有界.nn证明:(1)an1annp,则n12n1ana1ak1akp2pn1p,k1nn1当p1时,a;n223n当p1时,pap2pn1pn23n1nanpanppppn1p北京华夏天天教育科技有限公司4/6 n1p1pnn1pn1n1pn1pnppan21p1pnnnn(2)anpqanpqanpa,所以aanp,于是n1nnnn1nn1n2n1n1pnppanp2pn1p2,而1pn1nnnnn1pnpn1pnpp0,所以pa,即证a有界.n2n1p【点评】数列的递归公式,在天学网校强手营第二阶段的课程中,我们特别讲过的递归公式的所有类型正是为了此题。【难度】较高七、(本小题满分15分)*xnx2已知nN,xn,求证:nn(1)ex.n证明:原不等式等价于nx2xn22nxn(1)e,当xn时,上述不等式左边非正,不等式成立;当xn时,nyn由于e1yy0及贝努利不等式1y1ny其中n1,y1,从而nnnx22xnxxxx2n(1)en11n1n1nnx,即证.22nnnnn【点评】此题也可以使用导数的方法来做,难度较大。在天学网校强手营第一和第二阶段课程的不等式一节中有所讲解.【难度】较高北京华夏天天教育科技有限公司5/6 备考建议:1.全国一本大纲,不分省命题,因此在复习时应补上没学过的内容;2.文理科考查知识点基本相同,因此在复习时应该将在高考中文科不讲的知识点,如排列组合等补上;3.侧重对于数学基本思想(如划归转化,分类讨论,数形结合,函数方程等思想)的考查,因此在复习时应注重对于数学的总体认知和思想性问题,尤其是对数学有深远影响的数学思想的学习;4.考查内容宽泛,不考偏题怪题,但是考查难题,因此在复习时要采取与竞赛复习不同的策略,可以选取竞赛中的“好题”而不是偏题怪题;5.高等数学的知识(如用导数判断函数的单调性、拉格朗日中值定理等)对于解题很有帮助,这也突出了自主招生考试不同于高考的重要区别,因此在复习时要学习一些高等数学的知识。北京华夏天天教育科技有限公司6/6

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