2014年华约数学试题分析

2014年华约高水平大学自主选拔学业能力测试数学试题分析报告2014年华约数学试卷的题型结构与2013年基本没有区别，由7个解答题组成，试题难度略有下降，无偏题怪题，但是有难题。带有高等数学背景的函数或数列题是华约试卷的重点，今年也不例外。华约的数学试题更偏重考察基本的数学思想、严谨的数学训练，重视细节、步骤与严谨的推理，所以很多题目，考生有了解题思路之后，实际解题过程也会有一定难度。一、（本小题满分10分）已知x，x，x，x，x是正整数，任取四个其和组成的集合为44，45，46，47，求这五个12345数．解：五个数任取四个可以得到五个和值，故必有两个和值相同．而这五个和值之和为4xxxxx，为4的倍数，所以这个相同的和值只可能是46，从而123454445464746xxxxx57，123454这五个数分别为574413，574512，574611，574710，574611，即10，11，11，12，13．【点评】此题为集合题，顺带考查数论中的整除知识，在天学网校自主招生强手营第一和第二阶段的讲义中均有涉及．【难度】中等二、（本小题满分15分）1乒乓球比赛，五局三胜制，任一局甲胜的概率是pp()，若甲赢得比赛的概率是q，求p2为多少时，qp取得最大值．3解：若共比赛了3局，则甲赢得比赛的概率为p；若共比赛了4局，则最后一局甲胜，甲北京华夏天天教育科技有限公司1/6 23赢得比赛的概率为Cp1p；若共比赛了5局，则最后一局甲胜，甲赢得比赛的概率为3232Cp1p，因此4323232qpCp1pCp1p，34323232543qppCp1pCp1pp6p15p10pp，345431设fp6p15p10ppp，则24322121fp30p60p30p130pppp，30301111111当p，，fp0；当p，1，fp0，所以fp2243024301111在,1先增后减，当fp取得最大值时，p．22430【点评】这是一道部分伯努利概型和函数极值相结合的问题，考查了对于使用导数求极值和最值的方法，是天学网校强手营第一和第二阶段课程的重点内容．【难度】中上三、（本小题满分15分）11（Ⅰ）证明yfgx的反函数为ygfx；11（Ⅱ）Fx()f(x)，Gx()f(x)，若Fx()G()x，求证：fx()为奇函数．证明：（1）yfgx的反函数为xfgy，故11fxffgygy，111gfxggyy，11所以yfgx的反函数为ygfx．（2）由于Gx()的反函数是Fx()，故1GFx()GGxx，北京华夏天天教育科技有限公司2/6 1fxfGFx()ffFxFxfx，所以fx为奇函数．【点评】抽象函数问题，考查学生们对于反函数的理解，天学网校强手营第一阶段的课程中，对于逆映射有过很多的讨论，完全适用于该题。【难度】中等四、（本小题满分15分）2π函数fx()(cosxsin)sin(xx)2sinaxb的最大值为1，最小值为4，求a，24b．12221解：fx()(cosxsinx)2sinaxb=sinx2sinaxb，问题等价于2221gtt2atb在1，1上的最大值和最小值分别为1和4．下面讨论对称轴2ta与1，1的相对位置情况：021若a1，即a1，则gtt2atb在1，1上单调递减，25g11，g14，解得a，b1；4若1a0，即0a1，则ga1，g14，解得a15（舍去）；5综上a，b1．4【点评】这是一道三角函数值域和部分区间上二次函数的值域问题，可以通过讨论二次函数对称轴位置的方法做出，在天学网校强手营第二阶段的讲课中特别讲到过。【难度】中等五、（本小题满分15分）22xy222已知椭圆1与圆xyb，过椭圆上一点M作圆的两条切线，切点分别为22abP，Q，直线PQ与x轴，y轴分别交于点E，F，求EOF面积的最小值．222解一：设Macos，bsin0，2π，直线PQ为点M关于圆xyb的极线，北京华夏天天教育科技有限公司3/6 2其方程为acosxbsinyb，从而2bbx，y，EFacossin331bb22Sxy，当且仅当M坐标为a，b上述等号成立．EOF2EFasin2a222解二：设椭圆上的动点M坐标为x，y，则直线PQ的方程为xxyyb，其与坐标轴000022422bbbxy00的交点分别为，0，0，，故S，且1，由均值不等式可知xyOEF2xya2b200002243xy2xyabbb00001，故xy，得到S．2200OEFabab22xya00【点评】椭圆中三角形面积最值问题，使用切点弦的方法解决，在天学网校强手营第二阶段解析几何一部分中有所讲解．【难度】中上六、（本小题满分15分）n已知数列a满足：a0，anpqa．n1n1n（Ⅰ）若q1，求a；n（Ⅱ）若p1，q1，求证：数列a有界．nn证明：（1）an1annp，则n12n1ana1ak1akp2pn1p，k1nn1当p1时，a；n223n当p1时，pap2pn1pn23n1nanpanppppn1p北京华夏天天教育科技有限公司4/6 n1p1pnn1pn1n1pn1pnppan21p1pnnnn（2）anpqanpqanpa，所以aanp，于是n1nnnn1nn1n2n1n1pnppanp2pn1p2，而1pn1nnnnn1pnpn1pnpp0，所以pa，即证a有界．n2n1p【点评】数列的递归公式，在天学网校强手营第二阶段的课程中，我们特别讲过的递归公式的所有类型正是为了此题。【难度】较高七、（本小题满分15分）*xnx2已知nN，xn，求证：nn(1)ex．n证明：原不等式等价于nx2xn22nxn(1)e，当xn时，上述不等式左边非正，不等式成立；当xn时，nyn由于e1yy0及贝努利不等式1y1ny其中n1，y1，从而nnnx22xnxxxx2n(1)en11n1n1nnx，即证．22nnnnn【点评】此题也可以使用导数的方法来做，难度较大。在天学网校强手营第一和第二阶段课程的不等式一节中有所讲解．【难度】较高北京华夏天天教育科技有限公司5/6 备考建议：１．全国一本大纲，不分省命题，因此在复习时应补上没学过的内容；２．文理科考查知识点基本相同，因此在复习时应该将在高考中文科不讲的知识点，如排列组合等补上；３．侧重对于数学基本思想（如划归转化，分类讨论，数形结合，函数方程等思想）的考查，因此在复习时应注重对于数学的总体认知和思想性问题，尤其是对数学有深远影响的数学思想的学习；４．考查内容宽泛，不考偏题怪题，但是考查难题，因此在复习时要采取与竞赛复习不同的策略，可以选取竞赛中的“好题”而不是偏题怪题；５．高等数学的知识（如用导数判断函数的单调性、拉格朗日中值定理等）对于解题很有帮助，这也突出了自主招生考试不同于高考的重要区别，因此在复习时要学习一些高等数学的知识。北京华夏天天教育科技有限公司6/6