小学数学人教版五年级下册 因数和倍数 教案

第二讲因数和倍数的应用(一)知识要点基本概念：1、公约数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。例如：12的约数有1,2,3,4,6，12;30的因数有1，2,3,5,6,10，15，30。12和30的公因数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公因数。一般地我们用(a，b)表示a,b这两个自然数的最大公因数，如(12,30)=6。如果(a，b)=1，则a,b两个数是互质数。2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和18的最小公倍数。一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12,18]=36o3、最大公因数与最小公倍数的求法A.最大公因数求两个数的最大公因数一般有以下几种方法(1)分解质因数法(2)短除法(3)辗转相除法(4)小数缩倍法(5)公式法前两种方法在数学课本中匕经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。当两个整数不容易看出公约数时(一般是数字比较大)，我们可以合用辗转相除法。B.最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：(1)分解质因数法(2)短除法(3)大数翻倍法(4)aXb=(a，b)X[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积。 （二）例题选讲例题h用一个数去除30、60、75,都能整除，这个数最大是多少？［精彩思路］•••要求的数去除30、60、75都能整除，•••要求的数是30、60、75的公约数。又Y要求符合条件的最大的数，/.就是求30、60、75的最大公约数。［精妙解答］（30，60，75）=5X3=15这个数最大是15。例题2:有三根铁丝，长度分别是120屈米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？［精彩思路］Y要截成相等的小段，且无剩余，.二每段长度必是120、180和300的公因数。又每段耍尽可能长，•••要求的每段长度就是120、180和300的最大公因数。［精妙解答］（120，180，300）=30X2=60.•.毎小段最长60厘米。120+60+180+60+300+60=2+3+5=10（段） 例题3:—次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？［精彩思路］:由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。［精妙解答］又•••12+2+12•••［2，3,4］=12参加会餐人数应是12的倍数。4-3+124-4=6+4+3=13（瓶）.•.可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。又•••65+13=5•••参加会餐的总人数应是12的5倍，12X5=60（人）o例题4:两个数的最大公因数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28另一个数是多少？［精妙解答］ 设要求的数为X，则除以4后的余数为y/.x=4Xy28=4X7•••28x=4XyX4X7又Y4是x和28的最大公约数，（y,7）=1/.4XyX7是x和28的最小公倍数。 总结：通过例4的解答答过程，不难发现：如果用a和b表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是.•b)X[a,b]=aXb。这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公约数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。例题5:用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。解答：74811=2X1981+849,1981=2X849+283，849=3X283，(4811，1981)=283o补充说明：如果耍求三个或更多的数的最大公因数，可以先求其中任意两个数的最大公因数，再求这个公因数与另外一个数的最大公因数这样求下去，直至求得最后结果.也可以直接观察，依次试公有的质因数练习[初试牛刀]1、2、甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？ 已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31.求这两个自夕犬数 3、一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？4、兄弟三人在外工作，大哥6天［Hl家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？［挑战自我］1、将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可鋸多少块?2、一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整T克数，去掉箱子后地雷浄重201千克，拿出若干个地雷后，浄重183千克。求一个地雷的重量？［参考答案］［初试牛刀］1、甲数是18，乙数是54。2、解答：设这两个自然数为A和B。［A,B］=5766+31=186。7186=2X3X31,•••这两个自然数为31和186或62和93。3、每两棵之间的距离是60米，最少要种树苗6棵。4、10月25日。［挑战自我］1、每个立方体的体积是125立方分米.一井可锯60块。2、3千克.