五年级奥数第13讲-最大公约数与最小公倍数

 第13讲最大公约数与最小公倍数（二）  这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。  在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法  可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么  （18，12）×[18，12]  =（2×3）×（2×3×3×2）  =（2×3×3）×（2×3×2）  =18×12。  也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：  两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，  （a，b）×[a，b]=a×b。  例1两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。  解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。  例2两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。  分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”  改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。  30=1×30=2×15=3×10=5×6，  由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是   7×5=35和7×6=42。  例3已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。  分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。  因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”  当a=60时，  b=（a，b）×[a，b]÷a  =12×120÷60=24；  当a=120时，  b=（a，b）×[a，b]÷a  =12×120÷120=12。  所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。    要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？  分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数，[6，4，9]=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80，  （150，135，80）=5。  上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装   在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。  如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。  由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：  （1）先将各个分数化为假分数；  （2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；  （3）求出各个分数的分子的最大公约数b；      类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。  如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。  求一组分数的最小公倍数的方法：  （1）先将各个分数化为假分数；  （2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；  （3）求出各个分数的分母的最大公约数b；     一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？    同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为      所以黄鼠狼掉进陷井时跳了311/2÷63/10=5（次）。  黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了      练习13  1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。  2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？  3.求下列各组分数的最大公约数：    4.求下列各组分数的最小公倍数：            部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？   于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。