小学数学人教版五年级下册 因数和倍数 知识链接

北师大版小学数学第九册《因数和倍数》知识链接稀少而有趣的完美数任何一个自然数的因数中都有1和它本身，我们把小于它本身的因数叫做这个自然数的真因数。如6的所有真因数是1、2、3，而且6=1＋2＋3,像这样的数数学家们叫它完美数。古希腊人非常重视完美数。古希腊著名的数学家毕达哥拉斯发现它之后，人们就开始了对完美数的研究。也许完美数太少了，一直到现在，数学家才发现了29个完美数，而且都是偶完美数。前5个完美数分别是：6，28，496，8128，33550336。2的倍数的特征1、一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。2、一个数除以另一数所得的商。如a÷b=c，就是说a是b的c倍，a是b的倍数。一个数能整除它的积，那么，这个数就是因数，它的积就是倍数。3×5=15。例如：A÷B=C，就可以说A是B的C倍。3、一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集。注意：不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。4、2的倍数  一个数的末尾是偶数（02468），这个数就是2的倍数。  如3776。3776的末尾为6，是2的倍数。3776除以2=1888 5、3的倍数  一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4926。（4+9+2+6）除以3=7，是3的倍数。4926除以3=16426、4的倍数  一个数的末两位是4的倍数，这个数就是4的倍数。  2356。56除以4=14，是4的倍数。2356除以4=5897、5的倍数  一个数的末尾是05，这个数就是5的倍数。  7775。7775的末尾为5，是5的倍数。7775除以5=1555的倍数的特征8、6的倍数  一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。9、7的倍数  若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2=595，59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。10、8的倍数  一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数。  256除以8=32，是8的倍数；7256除以8=907，是8的倍数；32除以8等于4，所以也是8的倍数。11、9的倍数   若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。12、10的倍数  若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。13、11的倍数  ⑴若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！  ⑵将一个数从个位开始两两分隔，若所有分隔开的数和为11的倍数，则这个数为11的倍数（如32571，分隔成32571，3+25+71=99，99为11倍数，所以32571是11的倍数）14、12的倍数  若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。15、13的倍数  若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。16、17的倍数  若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数。17、19的倍数  若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。   若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数.18、23的倍数  若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除19、25的倍数  两位数以上（不包含两位数），看末两位是否是25的倍数。20、125的倍数  三位数以上（不包含三位数），看后三位是否是125的倍数。21、合数的倍数  其实就是简单质数的乘积，只要掌握了一些质数的倍数，一些合数的倍数也会掌握了。如上文提到的4、6、8、12。22、规律  任意两个奇数的平方差是8的倍数  证明：设任意奇数2n+1,2m+1,(m,n∈N)  （2m+1)^2-(2n+1)^2  =(2m+1+2n+1)*(2m-2n)  =4(m+n+1)(m-n)  当m,n都是奇数或都是偶数时，m-n是偶数，被2整除  当m,n一奇一偶时，m+n+1是偶数，被2整除  所以（m+n+1)(m-n）是2的倍数  则4(m+n+1)(m-n）一定是8的倍数   （注：0可以被2整除，所以0是一个偶数，0也可以被8整除，所以0是8的倍数）5的倍数的特征1、一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。2、一个数除以另一数所得的商。如a÷b=c，就是说a是b的c倍，a是b的倍数。一个数能整除它的积，那么，这个数就是因数，它的积就是倍数。3×5=15。例如：A÷B=C，就可以说A是B的C倍。3、一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集。注意：不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。4、2的倍数  一个数的末尾是偶数（02468），这个数就是2的倍数。  如3776。3776的末尾为6，是2的倍数。3776除以2=18885、3的倍数  一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4926。（4+9+2+6）除以3=7，是3的倍数。4926除以3=16426、4的倍数  一个数的末两位是4的倍数，这个数就是4的倍数。  2356。56除以4=14，是4的倍数。2356除以4=5897、5的倍数  一个数的末尾是05，这个数就是5的倍数。  7775。7775的末尾为5，是5的倍数。7775除以5=1555的倍数的特征 8、6的倍数  一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。9、7的倍数  若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2=595，59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。10、8的倍数  一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数。  256除以8=32，是8的倍数；7256除以8=907，是8的倍数；32除以8等于4，所以也是8的倍数。11、9的倍数  若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。12、10的倍数  若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。13、11的倍数  ⑴若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！  ⑵将一个数从个位开始两两分隔，若所有分隔开的数和为11的倍数，则这个数为11的倍数（如32571，分隔成325 71，3+25+71=99，99为11倍数，所以32571是11的倍数）14、12的倍数  若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。15、13的倍数  若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。16、17的倍数  若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数。17、19的倍数  若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。  若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数.18、23的倍数  若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除19、25的倍数  两位数以上（不包含两位数），看末两位是否是25的倍数。20、125的倍数   三位数以上（不包含三位数），看后三位是否是125的倍数。21、合数的倍数  其实就是简单质数的乘积，只要掌握了一些质数的倍数，一些合数的倍数也会掌握了。如上文提到的4、6、8、12。22、规律  任意两个奇数的平方差是8的倍数  证明：设任意奇数2n+1,2m+1,(m,n∈N)  （2m+1)^2-(2n+1)^2  =(2m+1+2n+1)*(2m-2n)  =4(m+n+1)(m-n)  当m,n都是奇数或都是偶数时，m-n是偶数，被2整除  当m,n一奇一偶时，m+n+1是偶数，被2整除  所以（m+n+1)(m-n）是2的倍数  则4(m+n+1)(m-n）一定是8的倍数  （注：0可以被2整除，所以0是一个偶数，0也可以被8整除，所以0是8的倍数）3的倍数的特征1、一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。2、一个数除以另一数所得的商。如a÷b=c，就是说a是b的c倍，a是b的倍数。一个数能整除它的积，那么，这个数就是因数，它的积就是倍数。3×5=15。例如：A÷B=C，就可以说A是B的C倍。 3、一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集。注意：不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。4、2的倍数  一个数的末尾是偶数（02468），这个数就是2的倍数。  如3776。3776的末尾为6，是2的倍数。3776除以2=18885、3的倍数  一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4926。（4+9+2+6）除以3=7，是3的倍数。4926除以3=16426、4的倍数  一个数的末两位是4的倍数，这个数就是4的倍数。  2356。56除以4=14，是4的倍数。2356除以4=5897、5的倍数  一个数的末尾是05，这个数就是5的倍数。  7775。7775的末尾为5，是5的倍数。7775除以5=1555的倍数的特征8、6的倍数  一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。9、7的倍数  若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2=7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2=595，59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。 10、8的倍数  一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数。  256除以8=32，是8的倍数；7256除以8=907，是8的倍数；32除以8等于4，所以也是8的倍数。11、9的倍数  若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。12、10的倍数  若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。13、11的倍数  ⑴若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！  ⑵将一个数从个位开始两两分隔，若所有分隔开的数和为11的倍数，则这个数为11的倍数（如32571，分隔成32571，3+25+71=99，99为11倍数，所以32571是11的倍数）14、12的倍数  若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。15、13的倍数  若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。16、17的倍数   若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数。17、19的倍数  若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。  若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数.18、23的倍数  若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除19、25的倍数  两位数以上（不包含两位数），看末两位是否是25的倍数。20、125的倍数  三位数以上（不包含三位数），看后三位是否是125的倍数。21、合数的倍数  其实就是简单质数的乘积，只要掌握了一些质数的倍数，一些合数的倍数也会掌握了。如上文提到的4、6、8、12。22、规律  任意两个奇数的平方差是8的倍数  证明：设任意奇数2n+1,2m+1,(m,n∈N)  （2m+1)^2-(2n+1)^2  =(2m+1+2n+1)*(2m-2n)   =4(m+n+1)(m-n)  当m,n都是奇数或都是偶数时，m-n是偶数，被2整除  当m,n一奇一偶时，m+n+1是偶数，被2整除  所以（m+n+1)(m-n）是2的倍数  则4(m+n+1)(m-n）一定是8的倍数  （注：0可以被2整除，所以0是一个偶数，0也可以被8整除，所以0是8的倍数）质数和合数质数又称素数，素数指的是一个只能被1和它本身整除的数，它是一个在数论中占重要研究地位的数，是一个数学皇冠上占一个重要位置的数。素数有多少：高斯猜测，n以内的素数个数大约与n/lnn相当，或者说，当n很大时，两者数量级相同。这就是著名的素数定理。目前发现的最大的素数：18世纪发现的最大素数是2^31-1，19世纪发现的最大素数是2^127-1，20世纪末人类已知的最大素数是2^859433-1，用十进制表示，这是一个258715位的数字。与素数有关的著名猜想有：歌德巴赫猜想：大于2的所有偶数均是两个素数的和，大于5的所有奇数均是三个素数之和。其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为1+1问题。我国数学家陈景润证明了1+2，即所有大于2的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的和。国际上称为陈氏定理。孪生素数猜想：差为2的素数有无穷多对。目前知道的最大的孪生素数是1159142985×22304－1和1159142985×22304＋1。在n2与（n+1）2之间总有素数；n2+1这种形式的素数有无穷多个。 大于某个n的自然数不是完全平方数，就是一个平方数与一个素数之和。黎曼猜想：ζ（念希塔）函数ζ(s)=1+1/2s+1/3s+1/4s+…（s是复变数，s=σ+it）的零点全部在直线t=1/2之上。每一个充分大的偶数都可以表为两个奇素数之和。对于奇数和偶数，乃是算术中最基本的概念，但对于素数和合数，却并非是所有的数学书中必须涉及的东西，其只是数论书中的一个基本概念。因此，尽管素数或合数都是一些常识性的概念，由于哥德巴赫猜想所涉及的问题主要是奇数、偶数、素数、合数之类的东西，故而，在此作些介绍也是情理中的事。不过，此讲所涉及的定理都是从书中摘抄而来，故对所有的定理均不作证明。 在自然数中，我们将那些可以被2整除的数叫作偶数，如 2、4、6、8、10、...等，剩下的那些自然数就叫作奇数，如1、3、5、7、9、...等。这样，所有的自然数就被分成了偶数和奇数两大类。另一方面，除去1以外，有的数除了1和它本身以外，不能再被别的整数整除，如2、3、5、7、11、13、17、...等，这种数称作素数(也称质数)。有的数除了1和它本身以外，还能被别的整数整除，这种数就叫合数，如 4、6、8、9、10、12、14、...等，就是合数。1这个数比较特殊，它既不算素数也不算合数。这样，所有的自然数就又被分为1和素数、合数三类。自然数的这种分类法，要比它分为奇数和合数两大类要复杂多了。 对于素数这个概念，我们自然会想到这样一个问题：怎样从自然数集合中找出素数？素数到底有多少个？   假设给定一个自然数N，要求出N以内的所有素数，可以这样进行：因为N以内的自然数只有三种，一种是1，一种是合数，一种是素数；我们可以象筛东西那样，先把1筛掉，然后再把合数筛掉，剩下的就是素数了，这种在自然数列中寻找素数的方法就叫做埃拉托色尼筛法(简称埃氏筛法)。 用筛法找出不超过N的全部素数，可以遵循下面的定理进行。 辅助定理1：“如果n是不大于x的合数，那么n必有一个不大于√x的素约数(符号“√”表示开平方)”(证从略)。根据辅助定理1，我们只要用不大于√x的素数作筛子，就可将不大于X以内的所有的合数筛除掉。  辅助定理2：“素数有无限多个”(证从略)。  虽然素数有无穷多个，但在自然数列中的一个相当长的数列中，却找不到一个素数，而有时会出现若p是素数，p+2也是素数的情况，所以素数的出现并无规则可言。  一个素数只有1和本身这两个约数，因此素数就不能再分解了。但是合数却有两个以上的素约数，那么合数能不能分解成约数全部是素数的乘积呢？答案是肯定的。  唯一分解定理：“任何大于1的自然数都可以分解成素数的乘积，如果不计较这些素因数的顺序，这种分解方法是唯一的”(证从略)。  根据唯一分解定理，欲求某自然数的倍数之数列，只要用该数乘以自然数列，即可得到该数的倍数之数列。由此可知，合数的出现是有规则可言的。埃氏筛法就是根据合数的出现是有规则可言的基础上，逐个地将不大于√x的素数的倍数筛掉。根据辅助定理1，可知，筛掉那些具有不大于√x素约数的合数，序列中已无合数的存在，剩下的就是大于√x至x的素数了。  在运用筛法时，就可发现，当筛除某数的倍数时，有时会遇到数列中的数已被前一个筛子所筛，这样就会造成计算上的误差。针对此种情况，在数论有一个逐步淘汰原则：  “设有N件事物，其中，N_i件有性质i，N_j件有性质j,..., N_ij件兼有性质i及j，...，N_ijk件兼有性质i、j及k，...。则此事物中之既无性质i，又无性质j，又无性质k，...者之件数为  N-N_i-N_j-N_k-...+N_ij+...-N_ijk-...+...-...。”①。  根据埃氏筛法和逐步淘汰原则，数论创建了求不大于X以内的素数之函数π(x)。所谓的π(x)函数，是指：  π(x)=N-r-1-{r∑i=1}[N/pi]+{∑1≤ii*pj]-... +(-1)r[N/pi*pj*...*pr]这是数论中求自然数列中素数的个数问题之唯一的一个根据规律而创建的函数，而所谓的素数定理中的Lix(x)函数仅是由于计算出来的数值有接近于π(x)函数中的数值而被高斯先生提议替代π(x)函数之用。因为在π(x)函数中的取整之步骤，使得计算成为十分繁琐之事。但在Lix(x)函数中，并无所求素数的个数之任何规律，在Lix函数中，仅是对数函数的积分，而对数函数只是指数函数的反函数也。