倍数和因数(吴汝萍）

彰显智趣，用数学本身的魅力吸引学生——以教学《倍数和因数》为例吴汝萍【教学现场】一、有效引入，界定范围师：今天我们要在这里上一节数学课，我站在大家面前，我们之间便建立了一种什么关系？生：师生关系。师：在家里，爸爸和妈妈之间是什么关系？生：夫妻关系。师：爸爸和妈妈之间，谁是谁的谁？生：爸爸是妈妈的丈夫，妈妈是爸爸的妻子。师：是的，人与人之间存在着这样或那样的的关系，数与数之间也存在着这样或那样的关系。这一节课，我们来认识两数之间的一种关系，也就是——生：倍数和因数师：我们已经认识了很多的数，像二分之一、三分之一这些数是什么数？生：分数。师：像0.1、0.2、0.5这些数是什么数？生：小数。师：分数、小数都是人类创造出来的数，像1、2、3、4、5等等都是自然界中原来就存在的数，叫什么数？生：自然数。 师：今天我们要研究的倍数和因数就是两个非0自然数之间的一种关系。【说明】引入简洁有趣。先让学生借助关键句式——“谁是谁的谁”来说清楚人与人之间的某些关系，为后面理解、描述数与数之间的关系埋下伏笔。接着让学生回忆学过的数，界定倍数和因数是两个非零自然数之间的一种关系。如此引入，学生的注意力一下子就指向两个非零自然数之间的关系，课伊始，趣已生。二、认识倍数和因数出示：3和12。师：想一想，这两个自然数之间存在着怎样的倍数关系？生：12是3的倍数。生：3的4倍是12。师：能用一道乘法算式来表示3和12之间的倍数关系吗？生：3×4=12。师：3的4倍是12，4也是非零自然数，也就是3和12之间存在着整倍数关系。请大家凭感觉猜想一下，谁是谁的倍数？谁是谁的因数？生：12是3的倍数，3是12的因数。师：感觉真好，与数学家想到一块去了。3和12存在着整倍数关系，数学家就这样规定了它们之间的关系：12是3的倍数，3是12的因数。师：现在，请大家在头脑中任意想出两个非零自然数，它们之间正好也存在着整倍数关系，然后相互说说这两个自然数之间“谁是谁的谁”？出示：0.1、1、6、9、18 师：这里有5个数，哪些是自然数？哪两个自然数之间存在整倍数关系？找出其中的2个说一说，“谁是谁的谁”？交流后讨论：能否说6是因数，18是倍数？能否说1是0.1的倍数？0.1是1的因数？师：4和12之间存在着整倍数关系吗？4和12之间，谁是谁的谁？生：12是4的倍数，4是12的因数。师：根据3×4=12可以断定，12是3的——倍数，12也是4的——倍数；3是12的——因数，4也是12的——因数。让学生根据3×4=12这道算式，把这3、4、12这几个数之间的关系说清楚。出示：11×4=4415×1=158÷2=45÷1=5让学生说一说每道算式中，谁是谁的谁？师：如果用a、b、c表示三个非0自然数，而且a×b=c，那么，a、b、c之间谁是谁的谁？能分得清楚吗？谁来说说看？生：c是a的倍数，c也是b的倍数，a是c的因数，b也是c的因数。【说明】直接让学生从熟知的两个自然数的整倍数关系入手，让学生凭感觉猜想出3和12之间“谁是谁的谁”，学生通过有意义的建构，初步感知了倍数和因数是两个非零自然数之间的一种关系。然后，让学生任意想两个存在着整倍数关系的非零自然数，说出“谁是谁的谁”，再让学生说说“1、6、9、18、0.1”这5个数中“谁是谁的谁”，学生进一步明白倍数和因数是两个非零自然数之间的一种关系。最后让学生说乘、除法算式中数与数的关系，为后面借助乘法算式找一个数的倍数和因数打下了坚实的基础。每个环节，学生学得明白，学得轻松。 三、学习找一个数的倍数师：12是3的倍数，想一想，3的倍数是不是就12这一个数？生：不是，有很多。师:你想到了哪个数也是3的倍数？能按从小到大的顺序把3的倍数写出来吗？学生在练习本上写3的倍数。师：你能把3的倍数一个一个全部都写出来吗？生：不能。师：为什么呢？生：非零自然数的个数有无数个，每个非零自然数和3乘都是3的倍数，所以3的倍数也有无数个，写不完。师：能不能借助一个标点符号来帮忙，将3的倍数都表示出来呢？生：省略号！师：好方法，请写出前面的几个后，在后面点上省略号。师：3的倍数有哪些？谁能按一定顺序说一说？生：3的倍数有3、6、9、12、15、18……师；有不一样的写法吗？生：3的倍数有6、9、12、15、18、21……师：他们写的有什么不一样？生：一个是从6开始写的，一个是从3开始写的。师：哪种写法是把3的倍数都表示出来了？生：从3开始写的。 师：好，千金难买回头看，我们回头思考一下，刚刚大家是怎么找到3的所有倍数的？生：想3的乘法。【出示：3×（）=（）】师：只要前面的这个括号里填的都是非零自然数，这样算出的积就都是3的——倍数。前面这个括号里最小填几？生：最小填1，3×1=3。师：后面依次是——生：3×2=6，3×3=9……师：3的倍数有无数个，写出前面的几个后，后面添上——生：省略号。让学生找出2的倍数和5的倍数。师：观察这几个数的倍数，有没有发现一个数的倍数有什么特点？学生讨论得出：一个数最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。【说明】先让学生找3的倍数，在写的过程中，学生发现3的倍数有很多个，根本写不完，自然想到了请省略号帮忙，突出了数学简洁性的魅力。在找出3的倍数后，教师注意引导学生比较、回头看，有效培养了学生思维的缜密性和有序性。在学生写出2的倍数和5的倍数后，通过比较3、2、5这几个数的倍数，引导学生发现并概括一个数的倍数的特点，有效培养了学生的观察能力和概括能力。四、学习找一个数的因数 师：根据3×4=12，我们知道3和4都是12的因数。想一想，还有谁也是12的因数？生：2和6。师：怎么一下子就想到了2个数？生：因为2×6=12。生：想积是12的乘法算式。【出示：（）×（）=12】师：两个自然数的积是12的乘法算式，有哪些？让学生在本子上写后按一定的顺序汇报。师：找到3×4=12后，为什么不继续找了？生：后面的与前面的重复了，不用找了。师：12的因数有哪几个？说说看。生：1、12、2、6、3、4。师：这样写出12是所有因数后，后面用什么标点符号？为什么？生：后面没有了，要用句号。师：这样一对一对找出写出12的因数感觉怎么样？生：很方便。生:有点乱。师：是的，虽然方便，但看上去，忽大忽小，有点乱，不太美观。数学总是是追求完美的，所以一般情况下，是按从小到大的顺序写出一个数的所有因数。你能按从小到大的顺序说出12的所有因数吗？从小到大，正好是怎样的顺序，用手势比划一下。学生比划，屏幕出示箭头指向图： 生：12的因数有：1、2、3、4、6、12。师：按照这样的方法，你能找出36的所有因数吗？学生找后，全班交流。师：36的因数有几组？是几个？生：有5组，是10个。生：是9个。师：每组2个数，5组应该10个呀，怎么是9个？生：6和6重复了，只能算一个。师：有道理。能按从小到大的顺序说出36的所有因数吗？生：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。学生练习找15、16各数的因数。师：观察这几个数的因数，有没有发现一个数的因数有什么特别之处？学生讨论得出：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的因数的个数是有限的。师：既然一个数的因数的个数是有限的，想一想，在100以内的自然数中，哪个数的因数个数最少呢？生：1！1的因数只有1。师：看到这个问题，你们还能联想到什么问题？生：在100以内的自然数中，哪个数的因数个数最多呢？ 师：很好，看到一个问题，能联想到另一个问题，这也是一种能力。大家猜想一下，在100以内的自然数中，哪个数的因数个数最多呢？学生一致认为是100，教师让学生找出100的因数，发现100的因数和36的因数一样，也只有9个，并不是最多的。师：100以内的自然数中，到底哪个数的因数最多呢？这个数留给大家回家后去找，有信心找到吗？（生表示肯定）找到后，到班上交流，先看找的对不对，再看因数最多的那个自然数在生活中的什么地方发挥了独特的作用。【说明】找一个数的因数是学习的难点，先让学生紧扣乘法算式，一组一组找出12的所有因数，进而引导学生找到按从小到大的顺序写出12的所有因数的方法，然后练习找36的因数，这样由易到难且方法巧妙，学生找得轻松，找得明白，找的欢快。再通过比较几个数的因数，学生发现了一个数的因数的特点。最后让学生找100以内的自然数中哪个数因数个数最少，哪个数的因数个数最多，有效激发了学生的探究欲望。五、课外拓展，认识完美数师：数学中有一种数叫完美数，完美数就和因数有关。先看6的因数，6的因数有：1、2、3、6。数学家规定，把小于这个数的因数叫真因数，1、2、3都比6小，它们都是6的——真因数。猜猜看，等于这个数本身的因数，叫什么因数？生：假因数。师：恭喜，又和数学家想到一块去了！数学家规定，如果把一个数的所有真因数加起来，结果不多不少，正好等于假因素，那这个数就是完美数。把6的三个真因数加起来，看看得数是多少？ 生：1+2+3=6。师：说明6就是一个——完美数！4是不是完美数呢？学生找出4的因数：1、2、4，并判断：1+2≠4，4不是完美数。师：6是2500多年前，古希腊的大数学家毕达哥拉斯发现的第一个完美数。在西方传说上帝创造世界用了6天，所以把完美数也叫做“上帝之数”。我们中国人常说——六六大顺，说明我们中国人也特别喜欢这个完美之数。班上学号是6的同学是谁？学号是6的同学起立，大家把掌声送给了6号。师：你的运气真好，祝贺你的学号是一个完美数，希望你能成为一个完美的学生，将来成为一个完美之人。（学号是6的同学非常开心。）师：大家想不想知道自己的学号是不是一个完美数呢？（生点头表示想）那就赶紧验证一下吧。学生验证后交流，大部分学生说自己的学号不是一个完美数，只有学号是28的学生，激动地说自己的学号是完美数。其他学生怀疑，于是一起验证，发现28的确是个完美数。师：第一个完美数是6，第二个完美数是28。看第三个完美数是——496。如果把完美数的所有因数，都变成几分之一这样的分数，然后把这些分数加起来，猜猜看，结果是多少？学生一一猜后，屏幕上一一出示结果，学生惊诧不已。 师：你觉得完美数怎么样？生：太神奇了。师：是的，完美数非常神奇，所以，从古到今很多数学家都在寻在完美数、研究完美数，已经发现了完美数很多神奇的地方。当然，完美数一定还有更多神奇的地方，等着更多的数学家去研究、去发现。师：我们有没有成为数学家的天分呢？现在我们先来预测一下，看自己有没有当数学家的天分。请根据前三个完美数，猜测一下第四个完美数是几位数，个位是几？如果能猜对，你就有当数学家的天分。学生一致猜出：第四个完美数是四位数，个位是8。屏幕出示第4个完美数是8128。学生一看结果和自己猜的一摸一样，激动得手舞足蹈。师：看来大家真有当数学家的天分！在1到10000这一万个自然数中，完美数也就只有这4个。你们认为完美数很多，还是很稀少？生：很稀少。师：对，非常稀少。相对于浩如烟海的自然数来说，完美数真的是沧海一粟。到目前为止，数学家们只找到了46个完美数。说不定能够发现第47个、第48个或者更多完美数的数学家就是我们班上的某个同学，那对数学研究的贡献可就大了，一定会名留青史。很多学生表示，课后就去研究完美数。师：数学家都喜欢从小问题开始研究。课中，我留给了大家一个小问题，还记得是什么问题吗？生：100以内的自然数中，哪个数的因数个数最多？ 师：我相信，大家课后一定能把这个小问题先研究出来。【说明】最后向学生介绍的神奇而稀少的完美数，学生如同享受了一顿智趣数学大餐。学生认识、验证完美数，既是巩固练习的过程，也是探究未知的过程。学生在猜测的过程中见证了完美数的神奇之处，彰显了智趣。尤其是学生猜出了第四个完美数是四位数、个位是8，教师说:“看来大家真有当数学家的天分！”学生可谓情趣高涨，智趣飞扬，信心倍增，探究愿望也更强烈。下课后，不少学生围着教师交流，迟迟不愿离去。可谓：课虽尽，趣犹浓。【教学阐述】一、数学合情合理数学知识的产生与形成过程本身就是一个自然的、合情合理的发展过程，数学教学中，尤其是引入新的知识或思想方法时，如果能让学生感觉数学是合情合理的，学生对数学就会有亲切感，感觉自己学习新的数学知识是有“根基”的，有能力把数学学好，对数学会产生良好的情感与态度。倍数和因数是两个非零自然数之间的一种关系，学生对“倍数”这个概念是有点感觉的，因为学生在二年级就认识了两个数量间之间的倍数关系，会解决“求一个数的几倍是多少”或“求一个数是另一个数的几倍”这样的实际问题。所以，教学时，直接出示“3”和“12” 这两个自然数，让学生说说它们之间的倍数关系，学生明确这两个非零自然数正好存在是整倍数关系后，让学生凭感觉猜想：谁是谁的倍数？谁是谁的因数？大部分的学生都认为12是3的倍数，3是12的因数。这样引入，倍数和因数的概念不再是老师硬塞进学生头脑中的，而是自己从学生的头脑中跳出来的，学生对倍数和因数这两个数学概念的心理接纳程度就高，就能有效理解倍数和因数之间的依存关系，而且，在后面探究找一个数的倍数和因数时，也能保持一定的主动性。二、数学有型有序“数学是模式的科学。”数学的模式可谓数学外在的“型”。学习数学，如果能让学生理解并建构起相应的数学模型，数学就不会“神龙见首不见尾”，而是有模有样，理解掌握起来一点不困难。如，怎么找到一个数的倍数？学生找出3的倍数后，意识到3与任何非零自然数的积，都是3的倍数，即3×（）=（），从而理解并能建构出找一个数的倍数的乘法算式模型。再如，怎么找一个数的因数？学生找12的因数，意识到两个自然数的积是12，这两个自然数就是12的因数，即：（）×（）=12，从而理解并能建构出找一个自然数因数的乘法算式模型。“数学是锻炼思维的体操。”数学的思维可谓数学内在的序。学习数学的魅力，在于有效提升数学思维能力，使思维变得严谨、变得有序。如，找一个数的倍数或因数时，学生开始的思维是无序的，教学过程，就是让学生经历从无序到有序的过程，从而提升学生有序思考的能力。如找3的倍数，用3依次与非零自然数1、2、3……相乘，就能找到3这个数所有的倍数。找12的因数时，学生按顺序思考并写出积是12的几组数据后，让学生观察这几组数据，找到因数从小到大的顺序正好是“U”字型。如此，学生学会了有序思考，能按从小到大的顺序将一个数的倍数或因数不重复、不遗漏，全部写出来。学生学得轻松、快乐。三、数学多姿多彩 数学世界是多姿多彩、增智增趣的。学生认为数学单调乏味、枯燥难学，是因为教师让学生品尝到的数学多是乏味枯燥的。数学课堂，应该将学生带进数学智趣大花园中，将多姿多彩的数学展示在学生面前，让学生品尝到智趣数学大餐。如，这节课中，学生学会找一个因数后，先让学生猜100以内的自然数中，因数个数最少的自然数是谁？因数个数最多的自然数是谁？学生尝试的胃口大开。接着引领孩子认识最小的“完美数”，寻找第二个“完美数”，并将“完美数”神奇的一些特征展示出来，学生觉得数学真奇妙，好奇心巨增。再让学生根据前几个完美数的相关特点，猜后一个完美数的数位及个位上的数，学生探究欲望高涨。当学生得知，到目前为止，数学家只找到46个完美数时，很多学生立马下决心要去研究完美数，去研究数学，正是因为学生被数学自身的魅力所折服。兴趣是最好的老师，学生是待点燃的火炬。好的数学教学，就是充分利用数学自身的魅力，点燃学生学习数学的热情，让学生永葆好奇心和求知欲，让学生透过枯燥，感受到数学多姿多彩的迷人魅力，从而对数学产生积极的情感，增强探究数学知识的持久兴趣