学生版 第七讲因数与倍数(公因数和公倍数(二)

第七讲因数与倍数（公因数和公倍数（二）【知识概述】这一讲我们主要介绍最小公倍数与最大公约数之间的关系。定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质，即：如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d)=1。定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。即[a,b]×（a,b）=a×b。定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。例题精学428A7a例1两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？【思路点拨】设一个数为A，得短除式如下：显然，7和a互质，否则4就不是最大公因数，那么252=4×7×a，a=9，A=4×9=36。另外，我们可以根据定理：[a,b]×（a,b)=a×b。求得4×252÷28=36。同步精练1.某数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，这个数是多少？2.甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这两个数。3.四个连续奇数的最小公倍数为6435，这四个奇数中最大的一个为多少?第6页共6页 例2两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个数的差。【思路点拨】若（A，B）=d，可以假设A=ad，B=bd,那么a和b互质，即（a,b)=1。在本题中，由于已知两数的最大公因数为5，故可设一个数为5a，另一个数为5b，(a,b)=1。又因为这两个数的和为50，这样可以得到5a+5b=50，5（a+b)=50，a+b=10。根据a与b互质，我们不难得到a=1,b=9或a=3，b=7。这样可以求出这两个数是5×3=15和5×7=35或5×1=5或5×9=45。它们的差也就好求了。同步精练1.两个自然数的和是56，它们的最大公因数是7，求这两个数。2.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数。3.两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这两个数的差是多少。例3两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，求这两个数的和。【思路点拨】已知两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，要求这两个数，可以根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。再求两个数的和。设这两个数为A和B，根据题意：21ABab（a与b互质）a×b=126÷21=6=1×6=2×3第6页共6页 a=1A=21×1=21b=6B=21×6=126a=2A=21×2=42b=3B=21×3=63A+B=42+63=105A+B=21+126=147同步精练1.两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210，这两个数的和是77。求这两个数。2.两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是多少？3.两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。例4两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。mABab【思路点拨】设两个自然数为A，B，且A