27.1.1圆的基本元素一.选择题（共8小题）1.如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）D.102.下列说法中，结论错误的是（）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧3.如图，AB是。。的直径，点C、D在。0上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC.若/AOC=70°,且AD//OC,则/AOD的度数为（）A.70°B.60°C.50°D.404.如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5,则四边形ACBP周长的最大值是（）A.15B.15+5、/^C.20D.15+5日5.如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1,这4个正三角形的周长和为C2,则C1和C2的大小关系是（）A.C1>C2B.C1VC2C.C仔C2D.不能确定
1,0)D.(―1,0)3.在4ABC中，/C为锐角，分别以AB,AC为直径作半圆，过点B,A,C作BAC,如图所示.若AB=4,AC=2,Si—S2=—,贝US3—S4的值是（）4BCAB「丁C：D：A.B.C.D.44447.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）A.同弧所对的圆周角相等B.直径是圆中最大的弦C.圆上各点到圆心的距离相等D.圆是中心对称图形y轴交于点A、B,且OA=1,则点B的坐标是（）二.填空题（共6小题）9.如图，以4ABC的边BC为直径的。O分别交AB、AC于点D、E,连结OD、OE,若/A=65°,则/DOE=_10.如图，以AB为直径的半圆。上有两点D、E,ED与BA的延长线交于点C,且有DC=OE,若/C=20°,则/EOB的度数是11.如图，AB为。。直径，点C、D在。0上，已知/AOD=50°,AD//OC,则/BOC=度.
12.如图，AB1)2的圆得到图③•-，则2第n(n>1)个图形阴影部分的面积是图①图②图③14.如图，在。O中，半径为5,/AOB=60°,则弦长AB=三.解答题(共7小题)15.已知：如图，在。O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD.求证：△OAC^^OBD.是。。的直径，点C、D在OO±,/BOC=110°,AD//OC,则/AOD13.如图①是半彳仝为1的圆，在其中挖去2个半径为工的圆得到图②，挖去22个半径为(E是。。上一点，/EOD=48°,A为DC延长线上一点，且AB=OC，求/A的度数.16.如图，CD是。O的直径,2
17.如图所示，AB为。。的直径，CD是。O的弦，AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,/AEC=20°.求/AOC的度数.18.如图，点。是同心圆的圆心，大圆半径OA,OB分别交小圆于点C,D,求证：AB//CD.19.已知AB为。O的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB,求证：/AOC=/DOB.20.如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，ZDOB=75°,DC交BA延长线于E,求/E的度数.交半圆于C,且CE=AO,21.如图，点B是线段AC上的一点，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，求证：半圆之和等于半圆AC的长.AB的长与半圆BC的长
27.1.1圆的基本元素参考答案与试题解析一.选择题（共8小题）1.如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）A.4B.5C.6D.10考点：圆的认识；多边形内角与外角.专题：压轴题.分析：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，另外五边形的外角和为360。，所有小圆在五个角处共滚动一周，可以求出小圆滚动的圈数.解答：解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周.由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72。，所以小圆在五个角处共滚动一周.因此，总共是滚动了6周.故选：C.点评：本题考查的是对圆的认识，根据圆的周长与五边形的边长相等，可以知道圆在每边上滚动一周.然后由多边形外角和是360。，可以知道圆在五个角处滚动一周.因此可以求出滚动的总圈数.2.下列说法中，结论错误的是（）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧考点：圆的认识.分析：利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；解答：解：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选B.点评：本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键.3.如图，AB是。。的直径，点C、D在。0上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC.若/AOC=70°,且AD//OC,则/AOD的度数为（）
3A.70°B.60°C.50°D.40考点：圆的认识；平行线的性质.分析：首先由AD//OC可以得到/BOC=/DAO，又由OD=OA得到/ADO=ZDAO，由此即可求出/AOD的度数.解答：解：.「AD//OC,AOC=/DAO=70°,又「OD=OA,・./ADO=/DAO=70°,・・./AOD=180-70-70=40°.故选D.点评：此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题.4.如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5,则四边形ACBP周长的最大值是（）A.15B.15+5&C.20D.15+5加考点：圆的认识；等边三角形的性质；等腰直角三角形.专题：计算题.分析：连结ADBP,PA,由于弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，可得到4ABD为等腰直角三角形，则AD=V2BD,由于4ABC为等边三角形，所以AC=BC=AB=5,BD=BP=5,当点P与点D重合时，AP最大，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=15+5双.解答：解：连结AD,BP,PA,•••弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，/ABD=90°,AD=V2AB，.「△ABC为等边三角形，AC=BC=AB=5,
BD=BP=5,当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=5+5+5+572=15+572.故选B.
点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）.也考查了等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质.5.如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为Cl,这4个正三角形的周长和为C2,则Cl和C2的大A.C1>C2B.C1VC2C.C1=C2D.不能确定考点：圆的认识；等边三角形的性质.分析：首先设出圆的直径，然后表示出半圆的弧长和三个正三角形的周长和，比较后即可得到答案.解答：解：设半圆的直径为a,则半圆周长Ci为：4a%24个正三角形的周长和C2为：3a,—a^33a,2・•.C1VC2故选B.点评：本题考查了圆的认识及等边三角形的性质，解题的关键是设出圆的直径并表示出Ci和C2.，AC=2，6.在4ABC中，/C为锐角，分别以AB,AC为直径作半圆，过点B,A,C作BAC,如图所示.若AB=4Si—S2=,贝US3—S4的值是(4C.11兀~TD.考点：圆的认识.专题：压轴题.分析：首先根据AB、AC的长求得Si+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论.解答：解：AB=4,AC=2,Si+S3=2Tt,S2+S4=—,
•-Q_Q__•SiS2=---(Si+S3)—(S2+S4)=(&-S2)+(S3—S4)=—Tt2S3—S4=—兀，4S1+S3和S2+S4的值.故选：D.点评：本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出7.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征()A.同弧所对的圆周角相等B.直径是圆中最大的弦C.圆上各点到圆心的距离相等D.圆是中心对称图形考点：圆的认识.分析：根据车轮的特点和功能进行解答.解答：解：车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变,是利用了圆上各点到圆心的距离相等，故选C.点评：本题考查了对圆的基本认识，即墨经所说：圆，一中同长也.y轴交于点A、B,且OA=1,则点B的坐标是(8.如图，以坐标原点O为圆心的圆与C.(1,0)D.(T,0)考点:圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理.考点:圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理.考点：圆的认识；坐标与图形性质.B的坐标.分析：先根据同圆的半径相等得出OB=OA=1,再由点B在y轴的负半轴上即可求出点解答：解：二.以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B,且OA=1,.・•点B的坐标是(0,-1).故选B.点评：本题考查了对圆的认识及y轴上点的坐标特征，比较简单.二.填空题(共6小题)贝U/DOE=50°9.如图，以4ABC的边BC为直径的。O分别交AB、AC于点D、E,连ZOD、OE,若/A=65°,考点:圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理.考点:圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理.考点:圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理.
专题：几何图形问题.分析：如图，连接BE.由圆周角定理和三角形内角和定理求得/ABE=25。，再由同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题.解答：解：如图，连接BE.BC为。O的直径，CEB=ZAEB=90°,・./A=65°,・./ABE=25°,・・./DOE=2/ABE=50°,（圆周角定理）故答案为：50°.点评：本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大.10.如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E,ED与BA的延长线交于点C,且有DC=OE,若/0=20°,则/EOB的度数是60°.考点：圆的认识；等腰三角形的性质.分析：利用等边对等角即可证得/0=ZDOC=20°,然后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解.解答：解：CD=OD=OE,.C=/DOC=20°,・./EDO=ZE=40°,/EOB=Z0+ZE=20+40=60°.故答案为：60°.点评：本题主要考查了三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，正确理解圆的半径都相等是解题的关键.11.如图,考点:专题:圆的认识；平行线的性质.计算题.AB为。O直径，点0、D在OO±,已知/AOD=50°,AD//O0,则/BOC=65度.
分析：根据半径相等和等腰三角形的性质得到/D=ZA,利用三角形内角和定理可计算出/A,然后根据平行线的性质即可得到/BOC的度数.解答：解：•••OD=OC,.•.ZD=ZA,而/AOD=50°,・./A=1(180-50°)=65°,2又「AD//OC,・./BOC=/A=65°.故答案为：65.点评：本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等.也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质.12.如图，AB是。O的直径，点C、D在。O上，/BOC=110°,AD//OC,贝\/AOD=40°考点：圆的认识；平行线的性质；三角形内角和定理.专题：计算题.分析：根据三角形内角和定理可求得/AOC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得/AOD的度数.解答：解：•./BOC=110°,/BOC+/AOC=180°,/AOC=70°,.AD//OC,OD=OA,・./D=ZA=70°,・./AOD=180-2ZA=40°.故答案为：40.点评：本题考查平行线性质、圆的认识及三角形内角和定理的运用.13.如图①是半彳至为1的圆，在其中挖去2个半径为2的圆得到图②，挖去22个半径为(2)2的圆得到图③•一，22
则第n(n>1)个图形阴影部分的面积是(1—二~~^)兀图①图②图③
专题：规律型.分析：先分别求出图②与图③中阴影部分的面积，再从中发现规律，然后根据规律即可得出第个图形阴影部分的面积.n(n>1)解答：解：图②中阴影部分的面积为：兀12-兀x（JL）2凌=兀-。广（1-1）产。兀2222图③中阴影部分的面积为：兀W-兀N（_1）]>2=兀—工TJ=11—工）产乜兀；2224图④是半径为1的圆，在其中挖去23个半径为（工）3的圆得到的，则图2④中阴影部分的面积为:¥>23=l±2317=(1-)71=一兀；238则第n（n>1）个图形阴影部分的面积为:—声(1—-三)2n-12r1兀.故答案为：（1———-——）兀2n-1点评：本题考查了对圆的认识及圆的面积公式，从具体的图形中找到规律是解题的关键.14如图，在。。中，半径为5,/AOB=60°,则弦长AB=5考点：圆的认识；等边三角形的判定与性质.分析：由OA=OB,得4OAB为等边三角形进行解答.解答：解：OA=OB=5,/AOB=60°,・•.△OAB为等边三角形，故AB=5.故答案为：5.点评：同圆或等圆的半径相等在解题中是一个重要条件.三.解答题（共7小题）15.已知：如图，在。O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD.求证：△OAC^^OBD.考点：圆的认识；全等三角形的判定.专题：证明题；压轴题.分析：根据等边对等角可以证得/A=/B,然后根据SAS即可证得两个三角形全等.解答：证明：.「OA=OB,.A=/B,・•・在4OAC和^OBD中：
rOA=OB，ZA=ZB,lAC=BD・•.△OACOBD(SAS).点评：本题考查了三角形全等的判定与性质，正确理解三角形的判定定理是关键.16.如图，CD是。O的直径，E是。。上一点，/EOD=48°,A为DC延长线上一点，且AB=OC,求/A的度数.考点：圆的认识；等腰三角形的性质.分析：根据圆的半径，可得等腰三角形，根据等腰三角形的性质，可得/A与/AOB,/B与/E的关系,根据三角形的外角的T质，可得关于/A的方程，根据解方程，可得答案.解答：解：如图，连接OB,由AB=OC,得AB=OC,/AOB=/A.由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得/EBO=/A+/AOB=2/A.由OB=OE,得/E=/EBO=2/A.由/A+/E=/EOD,即/A+2/A=48°.点评：本题考查了圆的认识，利用了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.17.如图所示，AB为。。的直径，CD是。O的弦，AB、CD的延长线交于点E,已知AB=2DE,/AEC=20°.求/AOC的度数.C考点：圆的认识；等腰三角形的性质.专题：计算题.分析：连接OD,如图，由AB=2DE,AB=2OD得到OD=DE,根据等腰三角形的性质得/DOE=/E=20°,再利用三角形外角性质得到/CDO=40°,加上/C=ZODC=40°,然后再利用三角形外角性质即可计算出/AOC.解答：解：连接OD,如图，•••AB=2DE,而AB=2OD,OD=DE,/DOE=/E=20
/CDO=/DOE+/E=40而OC=OD,.C=/ODC=40°,・./AOC=ZC+ZE=60°.点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧等).也考查了等腰三角形的性质.劣弧、等圆、等18.如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA,OB分别交小圆于点C,D,求证：AB//CD.考点：圆的认识；平行线的判定.专题：证明题.分析：利用半径相等得到OC=OD,则利用等腰三角形的性质得/OCD=/ODC,得到/OCD=-1(180°-/O),同理可得/OAB=!(180-ZO),22则/OCD=/OAB,然后根据平行线的判定即可得到结论.解答：证明：.「OC=OD,・./OCD=/ODC,・./OCD=1(180-ZO),2OA=OB,/OAB=/OBA,・./OAB=-(180-ZO),2/OCD=/OAB,AB//CD.点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧等).再根据三角形内角和定理劣弧、等圆、等19.已知AB为。O的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB,求证：/AOC=/DOB.B
考点：圆的认识；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：先根据等腰三角形的性质由OA=OB得到/A=/B,再利用SAS”证明AOACOBD,然后根据全等三角形的性质得到结论.解答：证明：.「OA=OB,.•.ZA=ZB,在△OAC和△OBD中，rOA=OBlAC=BD・.△OACOBD（SAS）,/AOC=/DOB.点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等20.如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点,求/E的度数.弧等）.也考查了全等三角形的判定与性质./DOB=75°,DC交BA延长线于E,交半圆于C,且CE=AO,考点：圆的认识；等腰三角形的性质.专题：计算题.分析：如图，由CE=AO,OA=OC得到OC=EC,则根据等腰三角形的性质得/E=/1,再利用三角形外角性质彳导/2=/E+/1=2/E,加上/D=/2=2/E,所以/BOD=/E+/D,即/E+2/E=75°,然后解方程即可.解答：解：如图，•••CE=AO,而OA=OC,.OC=EC,./E=/1,./2=/E+Z1=2/E,•OC=OD,./E=25°.弧等）.也考查了等腰，三角形的性质../D=Z2=2/E,•/BOD=/E+ZD,./E+2ZE=75°,掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等21.如图，点B是线段AC上的一点，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，求证：半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长.考点：圆的认识.专题：证明题.分析：根据圆的周长公式可计算出半圆AB的长=1tAB,半圆BC的长久tBC,半圆AC的长=1tiAC,则222半圆AB的长+半圆BC的长=4兀？（AB+BC）=1kTAC,即半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长.22
解答：证明：二.半圆AB的长=1？2兀?"=：tiAB,半圆BC的长=1？2兀”=：tBC,半圆AC的长222222—?2兀）—―tiAC••・半圆AB的长+半圆BC的长=1tiAB+工tBC=1兀？（AB+BC）,222•••ab+bc=ac,••・半圆AB的长+半圆BC的长二°TtKC,2••・半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长.点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）.
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