人教版高中高一数学1.1.1集合的含义与表示教学设计

学习好资料欢迎下载1.1.1《集合的含义与表示》教案【教学目标】1.明白集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特点；2.懂得元素与集合的“属于”和“不属于”关系；3.把握常用数集及其记法；4.明白集合的表示方法；5.能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.【导入新课】一、实例引入：军训前学校通知：8月20日8点,高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一同学仍是个别同学？在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感爱好的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合,即是一些争辩对象的总体.二、问题情境引入：我们高一（一）班一共52人,其中班长张三,现有以下问题：⑴52人组成的班集体能否组成一个整体？⑵张三和52人所组成的班集体是什么关系.⑶假设李四是相邻班的同学,问他与高一·一班是什么关系？新授课阶段（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判定一个给定的东西是否属于这个总体.2.一般地,我们把争辩对象统称为元素（element）,一些元素组成的总体叫集合（set）,也简称集.3.摸索1：判定以下元素的全体是否组成集合,并说明理由：（1）大于3小于11的偶数； 学习好资料欢迎下载（1）我国的小河流；（2）非负奇数；学习好资料欢迎下载（3）方程x210的解；学习好资料欢迎下载（4）某校20XX级新生；（5）血压很高的人；（6）著名的数学家；（7）平面直角坐标系内全部第三象限的点；（8）全班成果好的同学.对同学的解答予以争辩、点评,进而讲解下面的问题.2.关于集合的元素的特点（1）确定性：设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,就或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情形必有一种且只有一种成立.（2）互异性：一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体（对象）,因此,同一集合中不应重复显现同一元素.（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的次序无关.（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样.〔二〕元素与集合的关系1.（1）假如a是集合A的元素,就说a属于（belongto）A,记作：a∈A；（2）假如a不是集合A的元素,就说a不属于（notbelongto）A,记作：aA,例如,我们A表示“1~20以内的全部质数”组成的集合,就有3∈A,4A,等等.2.集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A,B,C⋯表示,集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,⋯表示.3.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集）,记作N；正整数集,记作N*或N+；整数集,记作Z；有理数集,记作Q；实数集,记作R. 学习好资料欢迎下载例1如集合A为所以大于1二小于3的实数组成的集合,就下面说法正确的为（）A．0AＢ.1AC.0.2AD.1A解析：依据元素与集合的关系可得,答案C.答案：C例2用“∈”或“”符号填空：（1）8N；（2）0N；（3）-3Z；（4）2Q；（5）设A为全部亚洲国家组成的集合,就中国A,美国A,印度A,英国A.答案：;;;;,,例3判定以下各句的说法是否正确：(1)全部在N中的元素都在N*中〔〕(2)全部在N中的元素都在Z中〔〕(3)全部不在N*中的数都不在Z中〔〕(4)全部不在Q中的实数都在R中〔〕(5)由既在R中又在N中的数组成的集合中确定包含数0〔〕(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立〔〕2答案：×,√,×,√,×,√学习好资料欢迎下载例4已知集合P的元素为1,m,m3m3,如3P且-1P,求实数m的值学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载解：依据3P,得如m3,就m23m33此时不中意题意；如m3m33,解得学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载此时m0或m3（舍）,综上符合条件的m0.学习好资料欢迎下载点评：此题综合运用集合的定义和元素与集合的关系解题,留意集合的性质的运用.（三）集合的表示方法我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外仍常用列举法和描述法来表示集合(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法.如：{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},⋯说明：1．集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的次序. 学习好资料欢迎下载2.各个元素之间要用逗号隔开；3.元素不能重复；4.集合中的元素可以数,点,代数式等；5.对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必需把元素间的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,.......例5用列举法表示以下集合：〔1〕x2－4的一次因式组成的集合.〔2〕{y｜y＝－x2－2x＋3,x∈R,y∈N}.〔3〕方程x2＋6x＋9＝0的解集.〔4〕{20以内的质数}.〔5〕{（x,y）｜x2＋y2＝1,x∈Z,y∈Z}.〔6〕{大于0小于3的整数}〔7〕{x∈R｜x2＋5x－14＝0}.〔8〕{（x,y）}｜x∈N,且1≤x＜4,y－2x＝0}.〔9〕{（x,y）｜x＋y＝6,x∈N,y∈N}.分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的全部元素,要留意不重不漏,不计次序地用“,”隔开放在大括号内.解：〔1〕因x2－4＝（x－2）（x＋2）,故符合题意的集合为{x－2,x＋2}.〔2〕y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4,即y≤4,又y∈N,∴y＝0,1,2,3,4.故{y｜y＝－x2－2x＋3,x∈R,y∈N}＝{0,1,2,3,4}.〔3〕由x2＋6x＋9＝0得x1＝x2＝－3,∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}.〔4〕{20以内的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.〔5〕因x∈Z,y∈Z,就x＝－1,0,1时,y＝0,1,－1.那么{〔x,y〕｜x2＋y2＝1,x∈Z,y∈Z}＝{（－1,0）,（0,1）,（0,－1）,（1,0）}.〔6〕{大于0小于3的整数}＝{1,2}.〔7〕因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7,x2＝2,就{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7,2}.〔8〕当x∈N且1≤x＜4时,x＝1,2,3,此时y＝2x,即y＝2,4,6.那么{（x,y）｜x∈N且1≤x＜4,y－2x＝0}＝{（1,2）,（2,4）,（3,6）}.〔9〕{（x,y）｜x＋y＝6,x∈N,y∈N}＝{（0,6）（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,（6,0）}.（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号{}内. 学习好资料欢迎下载具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范畴,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特点.学习好资料欢迎下载一般格式：xAp〔x〕学习好资料欢迎下载如：{x|x-3>2},{〔x,y〕|y=x2+1},{x︳直角三角形},⋯；说明：1.课本P5最终一段话；2.描述法表示集合应留意集合的代表元素,如{〔x,y〕|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合,只要不引起误会,集合的代表元素也可省略,例如：{x︳整数},即代表整数集Z.辨析：这里的{}已包含“全部”的意思,所以不必写{全体整数}.以下写法{实数集},{R}也是错误的.说明：列举法与描述法各有优点,应当依据具体问题确定接受哪种表示法,要留意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜接受列举法.例6用描述法表示以下集合：〔1〕方程2x＋y＝5的解集.〔2〕小于10的全部非负整数的集合.〔3〕方程ax＋by＝0（ab≠0）的解.〔4〕数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.〔5〕平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.x+y＝1〔6〕方程组x－y＝1的解的集合.〔7〕{1,3,5,7,⋯}.〔8〕x轴上全部点的集合.〔9〕非负偶数.〔10〕能被3整除的整数.分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性,确定代表元素,公共属性可以用文字直接表述,也可用数学关系表示,但要抓住其实质.解：〔1〕{（x,y）｜2x＋y＝5}.(2)小于10的全部非负整数的集合用描述法表示为{x｜0≤x＜10,x∈Z}.(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解用描述法表示为{（x,y）｜ax＋by＝0（ab≠0）}.〔4〕数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x｜x＞3}.(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x,y）｜xy＜0}.学习好资料欢迎下载(6)方程组x+y＝1x－y＝1的解的集合用描述法表示为{（x,y）｜x+y＝1x－y＝1}.学习好资料欢迎下载〔7〕{1,3,5,7,⋯}用描述法表示为{x｜x＝2k－1,k∈N*}. 学习好资料欢迎下载〔8〕x轴上全部点的集合用描述法表示为{（x,y）｜x∈R,y＝0}.〔9〕非负偶数用描述法表示为{x｜x＝2k,k∈N}.〔10〕能被3整除的整数用描述法表示为{x｜x＝3k,k∈Z}.（3）文恩图法：集合的表示除了列举法和描述法外,仍有恩韦图〔文氏图〕表达如下：画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.如图：表示任意一个集合A表示{3,9,27}表示{4,6,10}边界用直线仍是曲线,用实线仍是虚线都无关紧要,只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行,但不能．理．解．成．圈．内．每．个．点．都．是．集．合．的．元．素．．.例7设集合A＝{x｜x＝2k,k∈Z},B＝{x｜x＝2k＋1,k∈Z},C＝{x｜x＝4k＋1,k∈Z},又有a∈A,b∈B,判定元素a＋b与集合A、B和C的关系.解：因A＝{x｜x＝2k,k∈Z},B＝{x｜x＝2k＋1,k∈Z},就集合A由偶数构成,集合B由奇数构成.即a是偶数,b是奇数设a＝2m,b＝2n＋1（m∈Z,n∈Z）就a＋b＝2（m＋n）＋1是奇数,那么a＋b∈A,a＋b∈B.又C＝{x｜x＝4k＋1,k∈Z}是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1.故m＋n是偶数时,a＋b∈C；m＋n不是偶数时,a＋b∈C综上a＋b∈A,a＋b∈B,a＋b∈C.课堂小结1.集合的概念中,“某些指定的对象”,可以是任意的具体确定的事物,例如数、式、点、形、物等.2.集合元素的三个特点：确定性、互异性、无序性,要能娴熟运用之.3.集合的常用表示方法,包括列举法、描述法.作业1．习题1.1,第1-2题； 学习好资料欢迎下载2．预习集合的表示方法.拓展提升1.用集合符号表示以下集合,并写出集合中的元素：(1)全部确定值等于8的数的集合A；〔2〕全部确定值小于8的整数的集合B.2.以下各组对象不能．形．成．．集合的是（）A.大于6的全部整数B.高中数学的全部难题学习好资料欢迎下载C.被3除余2的全部整数D.函数y＝1x图象上全部的点学习好资料欢迎下载3.以下条件能形成集合的是（）A.充分小的负数全体B.爱好飞机的一些人C.某班本学期视力较差的同学D.某校某班某一天全部课程4.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成,其中k∈R,如A中的元素至多有一个,求k值的范畴.5.如x∈R,就{3,x,x2－2x}中的元素x应中意什么条件.学习好资料欢迎下载26.方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{11,3},就a＝,c＝.学习好资料欢迎下载7.集合A的元素是由x＝a＋b2（a∈Z,b∈Z）组成,判定以下元素x与集合A之间的关系：1113－20,2－,.参考答案1.分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合,所以能否形成集合,就看所提 学习好资料欢迎下载对象是否确定；其次集合元素的特点也是解决问题依据所在.解：〔1〕A＝{确定值等于8的数}其元素为：－8,8〔2〕B＝{确定值小于8的整数}其元素为：－7,－6,－5,－4,－3,－2,－1,0,1,2,3,4,5,6,7.1.解：综观四个选择支,A、C、D的对象是确定的,惟有B中的对象不确定,故不能形成集合的是B.3解：综观该题的四个选择支,A、B、C的对象不确定,惟有D某校某班某一天全部课程的对象确定,故能形成集合的是D.4.解：由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0〔k∈R〕的根学习好资料欢迎下载如k＝0,就x＝23,知A中有一个元素,符合题设学习好资料欢迎下载如k≠0,就方程为一元二次方程.学习好资料欢迎下载当Δ＝9－8k＝0即k＝98时,kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根,此时A中有一个元素.学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载又当9－8k＜0即k＞98时,kx2－3x＋2＝0无解.学习好资料欢迎下载此时A中无任何元素,即A＝也符合条件综上所述k＝0或k≥98评述：解决涉及一元二次方程问题,先看二次项系数是否确定,如不确定,如该题,就须分类争辩.其次至多有一个元素,准备了这样的集合或者含一个元素,或者不含元素,分两种情形.5.解：集合元素的特点说明{3,x,x2－2x}中元素应中意关系式学习好资料欢迎下载x≠3x≠x2－2x3≠x2－2xx≠3即x2≠3xx2－2x－3≠0也就是x≠3x≠0x≠－1学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载即x≠－1,0,3中意条件.26.解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{1111,3},那么2、3是方程两根学习好资料欢迎下载115学习好资料欢迎下载2＋3＝－a即有11ca＝－6得c＝－1那么a＝－6,c＝－1学习好资料欢迎下载2·3＝a7.解：因x＝a＋b2,a∈Z,b∈Z就当a＝b＝0时,x＝0 学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载1又2－1＝2＋1＝1＋2学习好资料欢迎下载当a＝b＝1时,x＝1＋21学习好资料欢迎下载又3－2＝3＋2学习好资料欢迎下载当a＝3,b＝1时,a＋b2＝3＋21学习好资料欢迎下载而此时3∈Z,故有：1∈A,3－21学习好资料欢迎下载故0∈A,2－1∈A,3－2∈A.15学习好资料欢迎下载8.解：如x是整数,就有x＋x＝15,x＝在两个连续整数之间设n＜x＜n＋12与x是整数相冲突,如x不是整数,就x必学习好资料欢迎下载就有n＋（n＋1）＝15,2n＝14,n＝7即7＜x＜8∴x∈（7,8）