人教版高中数学集合的含义与表示练习解析
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人教版高中数学集合的含义与表示练习解析

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时间:2022-08-04

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资料简介
1.1.1集合的含义与表示 [例1]下列各组对象:①接近于0的数的全体;②比较小的正整数全体;③平面上到点O的距离等于1的点的全体;④正三角形的全体;⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数是()A.2组B.3组C.4组D.5组 [分析]集合中的元素必须是确定的.[解析]“接近于0的数”、“比较小的正整数”标准不明确,即元素不确定,所以①、②构不成集合.同样,“的近似值”没有给出取近似值的标准(如“四舍五入法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位数,因此很难判定一个数,比如1.5,是不是它的近似值,所以⑤也不是一个集合.③、④能构成集合.∴选A. 下列各条件中,能够成为集合的是()A.与非常接近的正数B.世界著名的科学家C.所有的等腰三角形D.全班成绩好的同学[答案]C[解析]对于选项A、B、D没有明确的标准来衡量,故选C. [分析]本题重在考查元素的互异性,需要结合实数的性质去思考,尤其是要准确认识根式的意义. 若x∈{1,3,x3},则有()A.x=0或x=-1B.x=-1或x=3C.x=0或x=-1或x=3D.x=0或x=3[答案]C[解析]∵x∈{1,3,x3}∴x=1或3或x3当x=x3时x=0,±1,由于x3≠1,3,∴x≠1,故x=0,-1,3,故选C. [例3]若集合{-1,|x|}与{x,x2}相等,求实数x的值.[解析]∵{-1,|x|}与{x,x2}两集合相等,∴两集合含有相同的元素即{x,x2}一定含有-1这个元素由于x2≥0,∴x=-1. [例4]将下列集合改为用符号语言描述:(1)非负奇数集(2)能被3整除的整数的集合(3)第一象限和第三象限内的点的集合(4)一次函数y=2x+1与二次函数y=x2的图象交点的集合.[分析]从集合中元素(数或点)所满足的条件、具有的属性入手,联想有关的数学表达形式. [解析](1){x|x=2k-1,k∈N*};(2){n|n=3k,k∈Z};(3){(x,y)|xy>0};[点评]要重视同一数学对象的不同形态语言的表达方法及互译练习(如,普通语言符号语言),这对今后学习大有裨益. [例5]用适当的方法表示下列集合:(1)24的正约数组成的集合;(2)大于3小于10的整数组成的集合;(3)方程x2+ax+b=0的解集;(4)平面直角坐标系中第二象限的点集;[分析]首先搞清楚集合的元素是什么,然后选用适当的方法表示集合. [解析](1){1,2,3,4,6,8,12,24};(2){大于3小于10的整数}={x∈Z|3<x<10}={4,5,6,7,8,9};(3){x|x2+ax+b=0};(4){(x,y)|x3且x=2n,n∈Z};(3){P|P在平面α内且PA=PB}. [例6]下面三个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?[分析]对于用描述法给出的集合,首先要清楚集合中的代表元素是什么,元素满足什么条件. [解析](1)由于三个集合的代表元素代表的对象互不相同.∴它们是互不相同的集合.(2)集合①{x|y=x2+1}的代表元素是x,∵当x∈R时,y=x2+1有意义.∴{x|y=x2+1}=R;集合②{y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,∴{y|y=x2+1}={y|y≥1}. 集合③{(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),可以认为是满足y=x2+1的数对(x,y)的集合;也可以认为是坐标平面内的点(x,y)构成的集合,且这些点的坐标满足y=x2+1,∴{(x,y)|y=x2+1}={P|P是抛物线y=x2+1上的点}. 总结评述:用描述法表示的集合,认识它一要看集合的代表元素是什么,它反映了集合元素的形式;二要看元素满足什么条件.对符号语言所表达含义的理解在数学中要求是很高的,希望同学们能逐步提高对符号语言的认识. 总结评述:用列举法表示集合,就是要根据集合的一般特性(确定性、互异性、无序性)和集合本身的特征,把集合中的元素不重复、不遗漏、不计顺序地一一表示出来. [例8]已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合.(1)1是A中的一个元素,求集合A中的其它元素;(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B;(3)若A中至多有一个元素,试求a的取值范围. 若a≠0,则当且仅当方程的判别式Δ=4-4a=0,即a=1时,方程有两个相等的实根x1=x2=-1,此时集合A中有且仅有一个元素,∴所求集合B={0,1};(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况:①A中有且只有一个元素,由(2)知此时a=0或a=1;②A中一个元素也没有,即A=∅,此时a≠0,且Δ=4-4a<0,∴a>1;综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或a=0}. 已知集合A={x∈R|ax2+x+2=0},若A中至少有一个元素,则a的取值范围是________. [分析]题中给出数集A满足的条件.解答此题就从此条件入手.逐步推出结论. [例10]集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},C={x|x=6n+3,n∈Z},对任意的a∈A,b∈B,是否一定有a+b∈C?并证明你的结论.[错解]由a∈A,有a=3n+1(n∈Z),由b∈B,有b=3n+2(n∈Z),则a+b=6n+3(n∈Z),故a+b∈C [辨析]集合A是所有被3除余1的整数所组成的集合.集合B是所有被3除余2的整数所组成的集合,集合C是所有被6除余3的整数所组成的集合,易知1∈A,5∈B,而1+5=6∉C,则a∈A,b∈B,不一定有a+b∈C.错解的根源在于将A,B中的n看成同一个数,即a,b不是任意的,而是互相制约的,从而破坏了a与b的独立性. [正解]设a=3m+1(m∈Z),b=3t+2(t∈Z),则a+b=3(m+t)+3,当m+t是偶数时,设m+t=2k(k∈Z),有a+b=6k+3(k∈Z),则a+b∈C;当m+t为奇数时,设m+t=2k-1(k∈Z),有a+b=6k(k∈Z),则a+b∉C综上可知不一定有a+b∈C.

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