人教版高中数学集合的含义与表示练习解析

1．1.1集合的含义与表示 [例1]下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体．其中能构成集合的组数是()A．2组B．3组C．4组D．5组 [分析]集合中的元素必须是确定的．[解析]“接近于0的数”、“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①、②构不成集合．同样，“的近似值”没有给出取近似值的标准(如“四舍五入法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位数，因此很难判定一个数，比如1.5，是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③、④能构成集合．∴选A. 下列各条件中，能够成为集合的是()A．与非常接近的正数B．世界著名的科学家C．所有的等腰三角形D．全班成绩好的同学[答案]C[解析]对于选项A、B、D没有明确的标准来衡量，故选C. [分析]本题重在考查元素的互异性，需要结合实数的性质去思考，尤其是要准确认识根式的意义． 若x∈{1,3，x3}，则有()A．x＝0或x＝－1B．x＝－1或x＝3C．x＝0或x＝－1或x＝3D．x＝0或x＝3[答案]C[解析]∵x∈{1,3，x3}∴x＝1或3或x3当x＝x3时x＝0，±1，由于x3≠1,3，∴x≠1，故x＝0，－1,3，故选C. [例3]若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求实数x的值．[解析]∵{－1，|x|}与{x，x2}两集合相等，∴两集合含有相同的元素即{x，x2}一定含有－1这个元素由于x2≥0，∴x＝－1. [例4]将下列集合改为用符号语言描述：(1)非负奇数集(2)能被3整除的整数的集合(3)第一象限和第三象限内的点的集合(4)一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2的图象交点的集合．[分析]从集合中元素(数或点)所满足的条件、具有的属性入手，联想有关的数学表达形式． [解析](1){x|x＝2k－1，k∈N*}；(2){n|n＝3k，k∈Z}；(3){(x，y)|xy＞0}；[点评]要重视同一数学对象的不同形态语言的表达方法及互译练习(如，普通语言符号语言)，这对今后学习大有裨益. [例5]用适当的方法表示下列集合：(1)24的正约数组成的集合；(2)大于3小于10的整数组成的集合；(3)方程x2＋ax＋b＝0的解集；(4)平面直角坐标系中第二象限的点集；[分析]首先搞清楚集合的元素是什么，然后选用适当的方法表示集合． [解析](1){1,2,3,4,6,8,12,24}；(2){大于3小于10的整数}＝{x∈Z|3＜x＜10}＝{4,5,6,7,8,9}；(3){x|x2＋ax＋b＝0}；(4){(x，y)|x3且x＝2n，n∈Z}；(3){P|P在平面α内且PA＝PB}． [例6]下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？[分析]对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件． [解析](1)由于三个集合的代表元素代表的对象互不相同．∴它们是互不相同的集合．(2)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，∵当x∈R时，y＝x2＋1有意义．∴{x|y＝x2＋1}＝R；集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}． 集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合；也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}． 总结评述：用描述法表示的集合，认识它一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么条件．对符号语言所表达含义的理解在数学中要求是很高的，希望同学们能逐步提高对符号语言的认识. 总结评述：用列举法表示集合，就是要根据集合的一般特性(确定性、互异性、无序性)和集合本身的特征，把集合中的元素不重复、不遗漏、不计顺序地一一表示出来． [例8]已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其它元素；(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B；(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围． 若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1，此时集合A中有且仅有一个元素，∴所求集合B＝{0,1}；(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况：①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0或a＝1；②A中一个元素也没有，即A＝∅，此时a≠0，且Δ＝4－4a＜0，∴a＞1；综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或a＝0}． 已知集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是________． [分析]题中给出数集A满足的条件．解答此题就从此条件入手．逐步推出结论． [例10]集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}，对任意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论．[错解]由a∈A，有a＝3n＋1(n∈Z)，由b∈B，有b＝3n＋2(n∈Z)，则a＋b＝6n＋3(n∈Z)，故a＋b∈C [辨析]集合A是所有被3除余1的整数所组成的集合．集合B是所有被3除余2的整数所组成的集合，集合C是所有被6除余3的整数所组成的集合，易知1∈A,5∈B，而1＋5＝6∉C，则a∈A，b∈B，不一定有a＋b∈C.错解的根源在于将A，B中的n看成同一个数，即a，b不是任意的，而是互相制约的，从而破坏了a与b的独立性． [正解]设a＝3m＋1(m∈Z)，b＝3t＋2(t∈Z)，则a＋b＝3(m＋t)＋3，当m＋t是偶数时，设m＋t＝2k(k∈Z)，有a＋b＝6k＋3(k∈Z)，则a＋b∈C；当m＋t为奇数时，设m＋t＝2k－1(k∈Z)，有a＋b＝6k(k∈Z)，则a＋b∉C综上可知不一定有a＋b∈C.