等比数列备课资料一、备选例题【例1】已知无穷数列，，，…，，….求证：(1)这个数列成等比数列；(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的；(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．证明：(1)当n≥2时，＝＝(常数)，∴该数列成等比数列．(2)＝＝10－1＝，即an＝an＋5.(3)asat＝，∵s，t∈N＋，∴s＋t≥2.∴s＋t－1≥1且(s＋t－1)∈N.∴∈{}(第s＋t－1项)．【例2】设a，b，c，d均为非零实数，(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，求证：a，b，c成等比数列且公比为d.证法一：关于d的二次方程(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有实根，∴Δ＝4b2(a＋c)2－4(a2＋b2)(b2＋c2)≥0.∴－4(b2－ac)2≥0.∴－(b2－ac)2≥0.则必有b2－ac＝0，即b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．设公比为q，则b＝aq，c＝aq2，代入已知等式得，(a2＋a2q2)d2－2aq(a＋aq2)d＋a2q2＋a2q4＝0.∵(q2＋1)a2≠0，∴d2－2qd＋q2＝0，即d＝q≠0.证法二：∵(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，∴(a2d2－2abd＋b2)＋(b2d2－2bcd＋c2)＝0.∴(ad－b)2＋(bd－c)2＝0.∴ad＝b且bd＝c.∵a，b，c，d均为非零实数，∴＝＝d.∴a，b，c成等比数列且公比为d.二、备用习题1．公差不为0的等差数列第二、三、六项成等比数列，则公比为( )．A．1B．2C．3D．42．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30等于( )．A．210B．220C．216D．2153．各项均为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，且a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5等于( )．A．33B．72C．84D．1894．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为__________．5．在等比数列{an}中，(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；
(2)若a3·a5＝18，a4·a8＝72，求q.6．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝c＞0，a2n＋1＝b2n＋1，比较an＋1与bn＋1的大小．参考答案：1．C2．解析：由a1·a2·a3·a4·…·a30＝230，得···…·＝230，∴a·a·a·…·a＝(2q)30.∴a3·a6·a9·…·a30＝220.答案：B3．解析：设{an}的公比为q.由a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝21，∴1＋q＋q2＝7.解得q＝2或q＝－3(舍去)，∴a3＝a1q2＝3×4＝12.∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝12×7＝84.答案：C4．解析：设插入的三个数为a，b，c，则b2＝×＝4×9＝ac，所以b＝6，ac＝36，故abc＝216.[来源:Z.Com]答案：2165．解：(1)∵a9＝a1·q8，∴256·q8＝1，即q＝±.当q＝时，a12＝a1·q11＝256·＝；当q＝－时，a12＝a1·q11＝256×11＝－.(2)a1·q2·a1·q4＝18，即a·q6＝18.又a1q3·a1q7＝72，即a·q10＝72.两式相除得q4＝＝4，∴q＝±.6．解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.由题意知c＋2nd＝cq2n，∴nd＝(q2n－1)．∵an＋1－bn＋1＝c＋nd－cqn＝c＋(q2n－1)－cqn＝(qn－1)2≥0，∴an＋1≥bn＋1.三、斐波那契数列的奇妙性质前面我们已提到过斐波那契数列，它有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏．1．从首项开始，我们依次计算每一项与它的前一项的比值，并精确到小数点后第四位：＝1.0000 ＝2.0000＝1.5000＝1.6667＝1.6000＝1.6250
＝1.6154＝1.6190＝1.6176＝1.6182＝1.6180＝1.6181如果将这一计算不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.6180与1.6181之间，它还能准确地用黄金数表示出来．2．我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如图5所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列．图53．在斐波那契数列中，请你验证下列简单的性质：前n项和Sn＝an＋2－1，anan＋1－an－1an－2＝a2n－1(n≥3)．世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人．斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．
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