高一数学第一章1.1.2 集合间的基本关系讲义

1.1.2集合间的基本关系一、子集（一）子集：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）BA数学语言表示形式为：若对任意的x∈A有x∈B，则AB子集关系用文氏图表示为：AB（或BA）根据子集的定义，我们可以知道AA，也就是说任何集合都是它本身的一个子集.对于空集，我们规定A，即空集是任何集合的子集。例1：用适当的符号填空0____{0}____{0}2____{2}2____N{2}____N变式练习1：已知A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x｜x＜8，x∈N}，用适当的符号填空A___________BA___________C{2}__________C2_________C例2：写出集合的所有子集。【解析】集合的所有子集可以分为五类，即：（1）含有0个元素的子集，即空集；（2）含有一个元素的子集：；（3）含有二个元素的子集：；（4）含有三个元素的子集：；（5）含有四个元素的子集：.结论：如果集合A中有n个元素，则集合A共有2n个子集6 变式练习1：已知集合A＝{x∈N＋︱－1≤x＜4}，则集合A的子集有_________个。【解析】：8个（二）、集合相等：如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），则集合A与集合B相等，记作集合A＝集合B。即：AB且BA则A＝B。（上节两个集合相等：两个集合的元素完全相同）例3：已知集合A和集合B都是含三个元素的集合，且集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若AB且BA，求c的值。【解析】（1）若消去b得：ac2＋a－2ac＝0，a＝0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若消去b得：2ac2－ac－a＝0，∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0，又c≠1，故c＝－。变式练习：已知集合A和集合B都含有三个元素，A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，｜x｜，y}，若AB且BA，求2x＋y的值。【解析】：∴由集合的互异性，∴x－y＝0，则x＝y，此时A＝{x，x2，0}，B＝{0，｜x｜，x}，则x2＝｜x｜且x≠x2，故x＝y＝－1，此时A＝{－1，1，0}，B＝{0，1，－1}，符合题意，综上所述，2x＋y＝－3。（三）、真子集：如果集合AB，但存在元素x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集。记：AB（或BA）A真含于BB真包含A注意：即如果AB且A≠B，那么集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）。例如{1，2}N、{a，b}{a，b，c}等。子集与真子集的区别在于“AB”允许A＝B或AB，而AB是不允许“A＝B”的，所以如果AB成立，则一定有AB成立；但如果有AB成立，AB不一定成立。空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。例4：分别写出集合{a}，{a，b}和{a，b，c}的所有子集和真子集。集合{a}的子集有，{a}，共有2个子集；真子集有{a}，共1个真子集。6 集合{a，b}的子集有，{a}，{b}，{a，b}，共有4个子集；真子集有，{a}，{b}，共3个真子集。集合{a，b，c}的子集有：，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共有8个即个子集；真子集有，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共7个真子集。结论：如果集合A中有n个元素，则集合A共有2n个子集；2n－1个真子集。例5：有适当的符号填空。（1）A＝{2，3，6}B＝{x︱x是12的约数}A_____B（2）A＝{0，1}B＝{x︱x2＋y2＝1，y∈N}A_____B（3）A＝{x︱－1＜x＜2}B＝{x︱－2＜x＜2}A_____B（4）A＝{(x，y)︱x×y＜0}B＝{(x，y)︱x＞0，y＞0}A_____B（5）A＝{x︱x2＝1}B＝{y︱y2－2y＋4＝0}A_____B【解析】：（1）（2）（3）（4）（5）变式练习1：已知集合A＝{0，1}，B＝{z︱z＝x＋y，x∈A，y∈B}，则B的子集有（）A：8个B：2个C：4个D：7个【解析】：集合B中有3个元素，子集有8个。A变式练习2：已知集合A＝{x∈Z︱}，B＝{y︱y＝x2＋1，x∈A}，则集合B的含有元素1的子集个数为（）A：5B：4C：3D：2【解析】：A＝{x∈Z︱－1≤x＜3}＝{－1，0，1，2}，则B＝{1，2，5}，则集合B的含有元素1的子集有{1}，{1，2}，{1，5}，{1，2，5}共四个，B变式练习3：已知A＝{x︱x＝＋，∈Z}，B＝{x︱x＝－，∈Z}，C＝{x︱x＝＋，∈Z}，则集合A、B、C满足的关系是（）A：A＝BCB：AB＝CC：ABCD：BCA【解析】：A＝{6x︱6x＝6＋1，∈Z}，B＝{6x︱x＝3－＝3(－1)＋1，∈Z}，C＝{6x︱x＝＋1，∈Z}。则AB＝CB变式练习4：已知A＝{x︱y＝}，B＝{y︱y＝}，C＝{x︱＝0}，D＝{x︱＜0}，E＝{(x，y)︱y＝}，则下列结论正确的是（）A：ABCDB：DCBAC：B＝ED：A＝B【解析】：B变式练习5：若集合A满足{1，2}A6 {1，2，3，4}，则满足条件的集合A的个数为_____个。【解析】：4个二、子集的有关性质1、空集：我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，即空集只有一个子集就是它本身，而空集没有真子集。2、子集与真子集的性质（1）任何集合是它本身的子集，即AA；（2）对于集合A、B、C，如果AB且BC，那么AC；（3）对于集合A、B、C，如果AB，且BC，那么AC；（4）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例5：下列集合只有一个子集的是（）A：{x｜x2≤0}B：{x｜x3≤0}C：{x｜x2＜0}D：{x｜x3＞0}【解析】：C例6：下列表述正确的是（）A：＝{0}B：{0}C：{0}D：∈{0}【解析】：B例7：设A＝{x｜2m－1＜x＜m＋3}，B＝{x∈R｜x2＋1＝0}问m为何值时能使得A＝B。【解析】（1）显然B＝，欲使A＝B，必须且只需A＝即可。由于2m－1≥m＋3可得m≥4，此时A＝{x｜2m－1＜x＜m＋3}＝.综上可知，当m≥4时，A＝B例8：已知集合A＝{x｜x2＋x－2＝0}，B＝{x｜x－＝0}，若B A，则a＝_______________。【解析】易求A＝{－2，1}，B＝{1}或{－2}当B＝{1}，a＝1；B＝{－2}，a＝－2综上：a＝1或a＝－2变式练习1：已知集合A＝{x｜x2－8x＋15＝0}，B＝{x｜x－1＝0}，若B A，则＝_______________。【解析】：0或或例9：设集合A＝{x｜≤0}，B＝{x｜x≤}，若AB ，则的取值范围是__________。【解析】：≥46 变式练习1：已知集合A＝{x｜－3≤x≤5}，若集合B＝{x｜－2m－1≤x≤m＋1}，若AB ，则求m的取值范围。【解析】－2m－1≤－3＜5≤m＋1，即m≥4变式练习2：集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若BA，则求m的取值范围。【解析】：（1）若B＝，即m＋1＞2m－1时，即m＜2；（2）若B≠，则m满足解之得2≤m≤3，综上所述，m≤3变式练习2：已知函数f(x)＝（、∈R），且集合A＝{x｜x＝f(x)}，B＝{x｜x＝f[f(x)]}，（1）求证：AB ；（2）当A＝{－1，3}时，用列举法表示B。【解析】：（1）任取x∈A，则有x＝f(x)，则f[f(x)]＝f[x]＝x，故x∈B，故AB；（2）∵A＝{－1，3}，故得，故f(x)＝，∴f[f(x)]＝，故＝x，∴x＝3，x＝－1，x＝，故B＝{－1，3，，}课后综合练习1、下列关系中正确的个数为                       （  ）①0∈{0}，②{0}，③{0，1}{(0，1)}，④{(，)}＝{(，)} A：1    B：2    C：3   D：4【解析】：B2、下列图形中，表示MN的是（）MNAMNBNMCMND【解析】：C3、设、∈R，集合{1，＋，}＝{0，，}，则－＝（  ）A：1B：－1C：2D：－2【解析】：C6 4、设集合A＝{x︱x＝＋，∈Z}，若x＝，则下列关系正确的是（）A：xAB：x∈AC．{x}∈AD．{x}A【解析】：A5、用适当的符号填空：（1）______{x｜x2－1＝0}；（2）{1，2，3}________N；（3）{1}_________{x｜x2－x＝0}；（4）0________{x｜x2－2x＝0}【解析】：∈6、已知集合A＝{x｜1≤x＜4}，B＝{x｜x＜}，若A⊆B，求实数的取值范围________。【解析】：≥47、已知A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜x－2＝0}且BA，则实数组成的集合C是________。【解析】：{0，2，1}8、写出集合A＝{x｜0≤x＜3，x∈N＋}的真子集。【解析】：3个9、已知M＝{x｜－2≤x≤5}，N＝{x｜＋1≤x≤2－1}。（1）若MN，求实数的取值范围。（2）若MN，求实数的取值范围。【解析】：（1）（2）≤310、若集合A＝{x｜≤x≤＋2}，B＝{x｜x≤1}，若AB，则的取值范围为_____。【解析】：≤－111、已知集合A＝{x｜}，B＝{x｜≤x≤＋1}，BA，则的取值范围为_____。【解析】：－1≤≤212、已知集合A＝{y｜，x∈[－，]}，B＝{x｜1－m≤x≤m＋1}，若BA，则m的取值范围为_____。【解析】：A＝{y｜，x∈[－，]}＝[0，4]m≤16