人教版高中数学1.1.2集合间的基本关系

1.1.2集合间的基本关系 一、子集的有关概念1.Venn图通常用平面上_________的内部代表集合.用Venn图表示集合的优点：形象直观.封闭曲线 2.子集(1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____一个元素____集合B中的元素，我们就说这两个集合有_____关系，称集合A为集合B的子集.(2)符号语言：记作______(或____)，读作“_______”(或“B包含A”).(3)图形语言：用Venn图表示.任意都是A⊆BA含于B包含B⊇A 3.真子集如果集合_____，但存在元素x∈B，且____，我们称集合A是集合B的真子集，记作_____(BA).4.集合相等如果集合A是集合B的____(A⊆B)，且集合B是集合A的____(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是____的，因此集合A和集合B相等，记作_____.思考：“∈”与“⊆”有什么区别？提示：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系.A⊆Bx∉A子集子集一样A=B⊆AB 二、空集及集合间关系具有的性质1.空集：指的是____________的集合，记作__，并规定：空集是________的子集.2.集合间关系具有的性质(1)任何一个集合是它本身的_____，即______.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C,那么_____.不含任何元素∅任何集合子集A⊆AA⊆C 判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{0}是空集.()(2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.()(3)空集没有子集.()提示：(1)错误.集合{0}含有一个元素0，是非空集合.(2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集.(3)错误.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集.答案：(1)×(2)√(3)× 【知识点拨】1.对子集概念的理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A=∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A=B时，也有A⊆B，但A中含有B中所有元素，这两种情况都有A⊆B.2.对真子集的理解对真子集概念的理解关键是“真”字，它包括两个方面：首先是某集合的子集，其次不能与原集合相等. 3.对集合相等的理解(1)从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合A中的元素和集合B中的元素相同，则这两个集合相等.(2)从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即A⊆B，则对任意x∈A都有x∈B，同时B⊆A，则对任意x∈B都有x∈A，这说明两个集合的元素是相同的，即两集合相等. 4.对空集的理解(1)空集首先是集合，只不过此集合中不含任何元素.(2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.因此遇到诸如A⊆B，AB的问题时，务必优先考虑A=∅是否满足题意，这也是初学者极易出错的地方.5.对集合间关系具有的性质的两点说明(1)对于任何一个集合是它本身的子集的性质要时刻牢记.(2)集合间的包含关系满足传递性，同样，集合间的真包含关系也具有传递性，即AB,BC,则AC. 类型一子集的有关概念【典型例题】1.(2013·邵阳高一检测)集合{a,b}的子集个数为()A.1B.2C.3D.42.若集合{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M. 【解题探究】1.一个集合的子集可以与其相等吗？空集是它的子集吗？2.题2中满足条件的集合M一定含有哪些元素，可能含有哪些元素？探究提示：1.一个集合的子集可以与其相等，也可以是空集.2.据条件分析，集合M一定含有元素1，2，可能含有元素3，4. 【解析】1.选D.当子集不含元素时，即为∅；当子集中含有一个元素时，其子集为{a},{b}；当子集中有两个元素时，其子集为{a,b}.2.由于{1,2}⊆M，故1,2∈M，又M⊆{1,2,3,4}，所以符合条件的集合M有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}. 【互动探究】若把题2已知条件改为“已知{1，2}⊆M{1,2,3,4}”，则这样的集合M又有几个？【解析】∵{1,2}⊆M,∴M中至少有1，2两个元素，又M{1,2,3,4}，故集合M可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}. 【拓展提升】求一个集合子集个数的规律及注意点(1)规律：含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合的子集有2n个，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集.(2)注意点：解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合，即∅和集合本身. 【变式训练】(2013·冀州高一检测)同时满足：①M⊆{1,2,3,4,5},②若a∈M,则6-a∈M的非空集合M有()A.16个B.15个C.7个D.6个【解析】选C.∵1+5=2+4=3+3=6,∴集合M可能为单元素集合：{3}；二元素集合：{1,5},{2,4}；三元素集合：{1,3,5},{2,3,4},四元素集合:{1,2,4,5},五元素集合：{1,2,3,4,5}，共7个. 类型二集合间的包含关系的判断【典型例题】1.(2013·亳州高一检测)下列关系中，表示正确的是()A.1∈{0,1}B.1{0,1}C.1⊆{0,1}D.{1}∈{0,1}2.集合P={x|y=x2}，集合Q={y|y=x2}，则P与Q的关系为()A.P⊆QB.Q⊆PC.P=QD.以上都不对 3.集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}，则A与B间的关系是()A.A∈BB.ABC.A∉BD.A=B【解题探究】1.表示元素与集合、集合与集合之间的关系分别用什么符号表示？2.题2中判断两个集合之间的关系时，应先怎样处理集合？3.题3当n，k∈Z时，2n＋1，4k±1分别表示什么数？ 探究提示：1.表示元素与集合之间的关系用符号∈，∉表示，表示集合与集合之间的关系用⊆,表示.2.在判断两个集合之间的关系时，要先对集合进行分析、化简，使每个集合的表现形式最简洁.3.当n，k∈Z时，2n＋1表示奇数；4k±1也表示奇数. 【解析】1.选A.、⊆表示集合之间的关系，故B,C错误；∈表示元素与集合之间的关系，故D错误.2.选B.∵P={x|y=x2}={x|x∈R}，Q={y|y=x2}={y|y≥0}，故Q⊆P.3.选D.∵整数包括奇数与偶数，∴n＝2k或2k－1(k∈Z)，当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1，当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1，故A＝B. 【拓展提升】集合间关系的判断方法(1)判断A⊆B的常用方法，一般用定义法，即说明集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.(2)判断AB的方法，可以先判断A⊆B，然后说明集合B中存在元素不属于集合A.(3)判断A=B的方法，可以证明A⊆B，且B⊆A；也可以证明两个集合的元素完全相同. 【变式训练】(2013·肇庆高一检测)下列各组集合M与N中，表示相等集合的是()A.M={(0,1)},N={0,1}B.M={(0,1)},N={(1,0)}C.M={(0,1)},N={(x,y)|x=0且y=1}D.M={π},N={3.14}【解析】C.对A，由于集合M是点集，集合N是数集，故M和N不相等；对B，虽然都是点集，但元素表示不同的点，故M和N不相等；对D，由于π是无理数，3.14是有理数，故M和N不相等. 类型三由集合间的关系求参数问题【典型例题】1.(2013·长春高一检测)已知集合A={2,9},B={m2,2}，若A=B,则实数m的值为()A.3B.2C.±D.±32.已知集合A={x|a＜x＜5},B={x|x≥2}，且满足A⊆B，求实数a的取值范围. 【解题探究】1.两个集合相等，其元素有什么关系？2.当两集合是连续数集时，如何确定它们的包含关系？探究提示：1.两个集合相等，其元素是相同的.2.两个集合为连续数集时，可用数轴来分析它们的关系，并以此来确定它们的包含关系. 【解析】1.选D.∵A={2,9},B={m2,2},A=B，∴m2=9，m=±3.2.①当a≥5时，A=∅，此时有A⊆B;②当a＜5时，要使A⊆B，如图，需a≥2，所以2≤a＜5.综上，a的取值范围为a≥2. 【拓展提升】由集合间的关系求参数的方法及注意点(1)对于用列举法表示的集合，根据集合间的包含关系，可直接转为元素间的关系，此时应注意元素的互异性.(2)对于用描述法表示的集合，特别是元素个数无限的数集，可借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，此时要注意对端点值验证. 【变式训练】已知集合A={x|-3≤x≤4}，集合B={x|2m-1＜x＜m+1}，且B⊆A，求实数m的取值范围.【解题指南】可就集合B是否为空集进行讨论，根据B⊆A列出有关不等式(或组)，进而求出实数m的取值范围.【解析】∵B⊆A，(1)当B=∅时，即2m-1≥m+1，亦即m≥2时，满足要求.(2)当B≠∅时，则有解得-1≤m＜2.综上所述，实数m的取值范围是m≥-1. 【规范解答】根据集合间的关系求参数取值范围问题【典例】【条件分析】 【规范解答】(1)当a=0时，A=∅①,满足条件.…………3分(2)当a≠0时，分两种情况:①a>0时，A={x|