高一数学1.1.3 集合的基本运算 同步练习

1.1.3集合的基本运算5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.填空题（U为全集）：A∩A=_________，A∩=_________，A∩B_________B∩A，A∩B_________A，A∪B_________A，A∪=_________，A∪B_________B∪A，A∪A_________A，A∩（A）=_________，（A）=_________，A∩B_________A∪B.思路解析：集合中最基本的运算性质.答案：A=A==A2.在相应的图中，对所要求的集合部分打上阴影：（1）（A∪B）∩［（A∩B）］；（2）（B∪C）∪（A）；（3）B∩［（A∪C）］.思路解析：本题考查用韦恩图表示集合.解：3.设全集U={a，b，c，d，e}，集合M={a，c，d}，N={b，d，e}，那么（M）∩（N）是()A.B.{d}C.{a，c}D.{b，e}思路解析：M={b，e}，N={a，c}.答案：A4.某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数；（4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数.思路解析：本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化为集合语言，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再求解.解：设只乘电车的人数为x，不乘电车的人数为y，乘车的人数为z，不乘车的人数为u，只乘一种车的人数为v，如下图所示，可得x=84-18=66(人)，y=120-84=36(人)，z=84+32-18=98(人)，u=120-98=22(人)，v=（84-18）+（32-18）=80(人).中鸿智业信息技术有限公司 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z且|x|≤5}，则A∪B的元素个数是()A.11B.10C.16D.15思路解析：可用列举法找出A、B的元素，再求并集.答案：C2.已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x-y=4}，那么集合M∩N为()A.x=3，y=-1B.（3，-1）C.{3，-1}D.{（3，-1）}思路解析：首先搞清M、N中元素是点，M∩N首先是集合，并且其中元素也是点，即可选D.答案：D3.已知U为全集，集合M、N为U的子集，若M∪N=N，则()A.MNB.MNC.MND.MN思路解析：由M∪N=N可知MN，且都是U的子集，再由补集的定义可知.答案：A4.设集合A={-3，0，1}，B={t2-t+1}.若A∪B=A，则t=_________.思路解析：由A∪B=A知BA，∴t2-t+1=-3①或t2-t+1=0②或t2-t+1=1③.①无解；②无解；③t=0或t=1.答案：0或15.某班有50名学生，有36名同学参加学校组织的数学竞赛，有23名同学参加物理竞赛，有3名学生两科竞赛均未参加，问该班有多少同学同时参加了数学、物理两科竞赛?思路解析：利用Venn图更直观、清楚地看到各量之间的关系.如图.解：全集为U，其中含着50名学生，设集合A表示参加数学竞赛的学生，B表示参加物理竞赛的学生.则U中元素个数为50，A中元素个数为36，B中元素个数为23，全集中A、B之外的学生有3名，设数学、物理均参加的学生为x名，则有（36-x）+（23-x）+x+3=50，解得x=12.答：本班有12名学生同时参加了数学、物理两科竞赛.6.已知集合A={x|x2+4x=0}，集合B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0}，其中x∈R.（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）若A∪B=B，求实数a的值.思路解析：本题体现了分类讨论思想，要注意空集这一特殊集合.解：（1）易知A={0，-4}，又A∩B=B，即AB.∴B=或{0}或{-4}或{0，-4}.当B=时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0无实数解，∴Δ=4（a+1）2-4（a2-1）＜0.解得a＜-1.当B={0}或{-4}时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0有两个相等实数根，∴Δ=4（a+1）2-4（a2-1）=0,得a=-1，此时B={0}，满足题意.当B={-4，0}时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0有两个不相等实数根-4，0，则-2（a+1）=-4+0且a2-1=0，解得a=1，此时B={x|x2中鸿智业信息技术有限公司 +4x=0}={-4，0}，满足题意.综合以上可知a≤-1或a=1.（2）由已知得A={0，-4}.又A∪B=B，即AB.又∵B为二次方程解集，其中最多有2个元素，∴B={0，-4}，即方程x2+2（a+1）x+a2-1=0有两根为0和-4.由韦达定理知解得∴a=1.因此，若A∪B=B，则a=1.7.某高中2005年春季运动会开始了.设A={x|x是参加100米跑的同学}，B={x|x是参加200米跑的同学}，C={x|x是参加400米跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A∪B；（2）A∩C.思路解析：本题考查集合的交集运算、并集运算.解：用集合语言表示“学校规定，每位参赛同学最多只能参加两项比赛”，即为（A∩B）∩C=.（1）A∪B={x|x是参加100米跑或参加200米跑的同学}.（2）A∩C={x|x是既参加100米跑又参加400米跑的同学}.8.已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0}，B={x|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.思路解析一：由A∩B≠可知，方程x2-4ax+2a+6=0至少有一个负实根，即有两负根、一负根一零根、一负根一正根三种情况.解法一：∵A∩B≠，B={x|x＜0}，∴方程x2-4ax+2a+6=0至少有一负根.（1）当方程x2-4ax+2a+6=0有两个负根时，即解得-3＜a≤-1.（2）当方程x2-4ax+2a+6=0有一负根一零根时，解得a=-3.（3）当方程x2-4ax+2a+6=0有一负根一正根时，解得a＜-3.综上所述，所求实数a的取值范围为a≤-1.中鸿智业信息技术有限公司 思路解析二：如果从反面考虑，先求出方程x2-4ax+2a+6=0有实根时a的取值范围（可看成全集），然后考虑方程x2-4ax+2a+6=0的两根均为非负实数时a的取值范围，则最后可利用补集求解.解法二：设全集U={a|Δ=（-4a）2-4（2a+6）≥0}={a|（a+1）（a-）≥0}={a|a≤-1或a≥}.若方程x2-4ax+2a+6=0的两根x1、x2均为非负数，则解得a≥.在全集U中，集合{a|a≥}的补集为{a|a≤-1}.∴所求实数a的取值范围是a≤-1.快乐时光腹部的疤痕5岁的女儿不明白妈妈的肚皮为什么有一个疤痕，妈妈向女儿解释说：“这是医生割了一刀，把你取出的地方.”女儿认真想了一会儿，很认真地问妈妈：“那你为什么要吃掉我？”30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（B）等于()A.{2}B.{2，3}C.{3}D.{1，3}思路解析：先求B={1，3，4}，再与A取交集.答案：D2.设U是全集，集合P、Q满足PQU，则下面结论错误的是()A.Q∪P=PB.P∪Q=UC.P∩Q=D.P∩Q=Q思路解析：利用文氏图分析.答案：C3.已知全集I，集合A、B满足A∩B=B，A∪B=A，则必定有()A.BAB.BAC.A=BD.A∩B=思路解析：理解A∩B=B，A∪B=A的含义，从而A、C选项均有可能.但必定有选项D.答案：D4.设S、T是非空集合，且ST，TS，设Z=S∩T，则S∪Z等于()A.SB.TC.D.Z思路解析：理解符号、∩、∪的意义.答案：A5.设集合A={y|y=x2+1，x∈R}，B={y|y=x+1，x∈R}，则A∩B等于()A.{（0，1），（1，2）}B.{（0，1）}C.{（1，2）}D.{y|y≥1}思路解析：A∩B是一个集合，其中的元素还是y，排除A、B、C三项.中鸿智业信息技术有限公司 答案：D6.右图中反映的是①四边形、②梯形、③平行四边形、④菱形、⑤正方形这五种几何图形之间的关系，五个图形与A、B、C、D、E代表的图形集合相对应，正确的是()A.①—B，②—A，③—C，④—D，⑤—EB.①—A，②—B，③—C，④—D，⑤—EC.①—C，②—A，③—B，④—D，⑤—ED.①—D，②—B，③—C，④—E，⑤—A思路解析：由平面几何知识，在①②③④⑤五个图形中，①是最大、最基本的图形，包含②③④⑤.∴①—A.B与C是并列的，即无交集，且③包含了④⑤.∴②—B，③—C.正方形是特殊的菱形，∴④—D，⑤—E.∴选B.答案：B7.如右图，有四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ.下面给出了四个用集合A、B的交集、并集、补集表示的集合，请你将对应的集合与区域连结起来.B∩（A）ⅠA∩BⅡA∩（B）Ⅲ（A∪B）Ⅳ思路解析：考查用韦恩图来表示集合的运算.答案：8.如右图所示，全集为I，非空集合P、Q满足PQI，若含P、I、Q的一个集合运算表达式使运算结果为，则这个运算表达式可以是_________.（只需写一个表达式）思路解析：用Venn图表示含I、P、Q的运算表达式结果为，只需无公共部分的两区域表示的集合取交集即可.由Venn图，知P∩（Q）或（Q）∩（Q∩P）或（Q）∩（Q∪P），（Q）∩（P），（P）∩P均可.中鸿智业信息技术有限公司 答案：P∩（Q）9.已知A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，是否存在a，使A、B满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B=B；③（A∩B）？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.思路解析：存在性探索问题的一般解法是先假设存在，再由此推算，若出现矛盾，则说明假设错误，即不存在，否则存在.解：假设存在a使得满足条件，由已知得B={2，3}，∵A∪B=B，∴AB.又∵（A∩B），∴A≠，即A={2}或{3}.当A={2}时，代入得a2-2a-15=0，即a=-3或a=5.经检验，a=-3时，A={2，-5}≠{2}矛盾，a=5时，A={2，3}≠{2}矛盾；当A={3}时，代入得a2-3a-10=0，即a=5或a=-2，经检验，a=-2时，A={3，-5}≠{3}矛盾；a=5时，A={2，3}≠{3}，矛盾.综上所述，不存在实数a，使得满足条件.10.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数.思路解析：考查交集的运算.用集合的运算解决实际问题.根据题意，借助韦恩图求解.解：设参加数学、物理、化学竞赛的人构成的集合分别为A、B、C，则nA=27，nB=25，nC=27，nA∩B=10，nB∩C=7，nA∩C=11，nA∩B∩C=4，如图所示.∴全班人数为各数之和：10+12+13+7+3+6+4=55.答：全班共有55人.11.集合A={x|-2＜x＜-1或x＞1}，B={x|a≤x≤b}，若A∪B={x|x＞-2}，A∩B={x|1＜x≤3}.求a、b的值.思路解析：先在数轴上画出A的范围及B的范围.解：若使A∪B={x|x＞-2}，则应有-2＜a≤-1，b≥1.若使A∩B={x|1＜x≤3＝，则-1≤a≤1，b=3.所以a=-1，b=3.12.已知A={2，4，a3-2a2-a+7}，B={-4，a+3，a2-2a+2，a3+a2+3a+7}，且A∩B={2，5}.（1）求实数a的值；（2）求A∪B.思路解析：利用A∩B={2，5}确定集合元素的取值是本题的关键.解：(1)由题意知a3-2a2-a+7=5，解之，得a=-1，1，2.当a=-1，1时，A={2，4，5}，B={-4，2，4，5}或{-4，1，4，12}，这与已知A∩B={2，5}矛盾；当a=2时，符合题意，故a=2.(2)此时A∪B={2，4，5}∪{-4，2，5，25}={-4，2，4，5，25}.中鸿智业信息技术有限公司