集合的基本运算

《集合的基本运算》教学设计课题：1.1.3集合的基本运算教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）必修一一、教学内容的地位、作用分析集合是学生升入高中以后学习的第一个内容，不仅是高中数学内容的一个基础，也为以后其他内容的学习提供了帮助。集合作为现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容，在现代数学理论体系中的占有基础性的地位。我们学会集合的基本内容后，不仅可以用集合语言表示有关数学对象，也为后面函数概念的描述打下了基础。本节《集合的基本运算》是集合这一节里面的核心内容。本节的主要内容是交集、并集、补集的概念及交、并、补的运算，要从自然语言、符号语言、图形语言三个方面去理解交、并、补的含义，可以培养学生数形结合的数学思想。同时这一部分不仅是考查的重点知识，同时也是与其他内容很容易交汇出题的知识点，经常作为知识的载体出现。二、学情分析学生在小学和初中已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合等，对集合有了一个大概的了解。进入高中以后，学习的第一个内容便是集合。通过1.1.1《集合的含义与表示》的学习，学生们知道了集合的概念，和其确定性、无序性和互异性三个特征，了解了元素与集合之间的关系（元素属于集合或元素不属于集合），同时学会了列举法和描述法两种表示方法。通过1.1.2《集合间的基本关系》的学习，我们明确学习了集合与集合的关系，包括包含关系（子集和真子集），相等关系，并规定了不含任何元素的集合叫做空集。同时，在1.1.2节当中，我们引入了Venn图这个工具，对1.1.3中集合的运算的学习也提供了帮助。三、教学目标和重点、难点分析教学目标知识目标：（1）理解两个集合之间并集的概念，会求两个简单集合的并集；（2）理解两个集合之间交集的概念，会求两个简单集合的交集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用；（4）在解题过程中能灵活选择应用数轴或Venn图.能力目标：（1）通过Venn图的使用和数轴的使用，让学生们领悟数形结合的数学思想；（2）通过给出集合作为例子，让学生思考它们之间的关系来给出并集和交集的定义，培养学生观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展；（3）讨论环节锻炼了学生交流合作能力以及表达能力.情感目标：（1）通过使用符号表示、集合表示、图形表示集合间的关系与运算，引导学生感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义，从中了解数学的重要意义和应用的广泛程度，从而增加学生学习数学的兴趣；（2）另外讨论环节的设置也可以让学生感受到人与人交流的乐趣，利于学生间的合作交流与和谐相处. 教学重点：（1）并集、交集的概念及其运算；（2）学会使用Venn图和数轴来表示集合间的关系及运算.教学难点：弄清并集、交集的概念，符号之间的区别与联系教学方法：讲授式、情景式、合作式教具学具：幻灯片一、教学策略分析本节课的教学难点是弄清并集、交集的概念，符号之间的区别与联系，针对这一教学难点，我们采取下面几个策略进行突破：1、通过分组讨论，将并集、交集三个内容的概念，符号表示以及Venn图表示进行比较，让学生归纳总结出其中的异同点，从而巩固三个概念的记忆，同时了解这三者之前的区别与联系。2、通过同一例题给定的两个集合，分别问这两个集合的交集和并集，通过计算过程与计算结果的不同，给学生一个直观感受来体会并集、交集的不同。二、教学过程教学过程设计说明复习回顾提问一：集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（继续发问元素满足的三个特性，以及集合的表示方法）提问二：元素与集合的关系提问三：集合间的基本关系（同时回顾Venn图的画法）回顾之前所学习的内容，既可以复习巩固前两节课的知识，同时为这一节课讲集合间的运算打下基础。情景设置新课导入l情景李华和室友王伟一起到新百购物，李华买了水果、牛奶、纸巾和帽子四种商品，王伟买了牙膏、可乐、纸巾、饼干和水果五种商品，问两人一共买了多少种商品？若回答两人一共买了9（=5+4）种，显然是不对的。让我们试着从集合的角度考虑这个问题。l思考1：我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以相加呢？考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？（1）A={1,3,5}B={2,4,6}C={1,2,3,4,5,6}（2）A={x|x是有理数}B={x|x是无理数}C={x|x是实数}注：可以将（1）中C的元素减少来进行发问，来强调C是A、B中所有元素组成的。通过情境的引入，引导学生从集合的角度来考虑品种个数的问题（结合集合中元素的互异性）。情景的设置贴合学生生活，也能激发学生的学习兴趣和求知欲.引导学生观察并思考集合A、B、C中元素的关系，集合C中的元素是由集合A或B中的所有元素组成的，从而引出今天的第一个问题，并集的概念。 并集的概念及运算应用l概念一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合.称为集合A与B的并集，记作：A∪B；读作“A并B”。用描述法表示为A∪B={x|x∈A，或x∈B}Venn图表示为：ABA∪B则刚才思考1中的（1）、（2），集合A，B与集合C之间的关系都可以表示为A∪B=Cl例题例1：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.分析：结合Venn图：_3,7_5_8_4,6解：A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}例2：设集合A={x|–1＜x2}，集合B={x|1x＜3}，求A∪B.分析：结合数轴：–10123x解：A∪B={x|–1＜x2}∪{x|1x＜3}={x|–1＜x＜3}（问：若中间两个实点变为虚点后范围改变了吗？答：没有）l思考2下列关系式成立吗？（1）A∪A=A严格给出并集的概念，并依此给出描述法和Venn图两种表示方法。通过回顾上面的思考1，巩固了概念的理解，同时感受了并集的运算。列举法表示的集合求并集可以采取画Venn图的形式来分析求解（注意：公共元素在集合中只能出现一次，如5、8，参考集合内元素的互异性）实数范围内两个区间所构成集合的求并运算可以采用数轴上画出范围的方式来分析运算（问题的设置意在提醒学生注意端点值能否取到，使并集范围确立地更加仔细）。既可以考察学生对并集的理解，又向学生介绍了几条常用性质。（画Venn图） （2）A∪∅=A交集的概念及运算应用l情景回顾将两人买的商品用Venn图来表示：牛奶帽子纸巾水果牙膏可乐饼干通过刚才的学习我们知道，由两集合的所有元素组成两集合的并集，其中公共部分纸巾和水果只出现一次。问：由两集合的公共元素组成的集合又会是通过两集合怎样运算得到的呢？l思考3考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系？（1）A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}C={8}（2）A={x|x是新华中学2004年9月在校的女同学}，B={x|x是新华中学2004年9月在校的高一年级同学}，C={x|x是新华中学2004年9月在校的高一年级女同学}.通过上面的情景回顾，学生很容易看出集合C是集合A、B的公共部分，再引导从元素的角度进行考虑（可适当回去参考并集概念的形式）。猜测：如果学生回答，集合C中的元素是由既属于集合A，又属于集合B的元素构成的。则继续发问：将（2）中的集合C改为：C’={x|x是新华中学2004年9月在校的高一年级身高超过一米五的女同学}同样也是集合C’中的元素既属于集合A，又属于集合B，上面的总结没有抓住全部的条件，比较集合C与集合C’，可以看出集合C是既属于集合A，又属于集合B的最大集合。通过同学们讨论归纳，得到：上述问题中，集合C情景再次回顾，在复习并集的同时也引出了交集的内容，再次激发学生的学习兴趣，同时为下面的思考提供了思路（公共元素）。通过给出两个实例，让学生们自己观察并交流，找出集合A，B与集合C之间的关系，通过模仿上面并集的概念，锻炼了学生观察、类比以及总结的能力。如果学生总结不严谨，继续发问，通过比较C与C’的不同点，来引导、帮助学生更加严谨地归纳总结交集的概念，强调是集合C是由属于集合A且又属于集合B的所有元素组成。 是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成。交集的概念及运算应用l概念一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，成为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”用描述法表示为：A∩B={x|x∈A且x∈B}Venn图表示为：ABA∩Bl回顾则刚才思考3中的（1）、（2），集合A，B与集合C之间的关系都可以表示为A∩B=Cl例题例3(板书)：设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系。解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.（1）直线l1，l2相交于一点P，可表示为L1∩L2={点P}；（2）直线l1，l2平行可表示为L1∩L2=∅；（3）直线l1，l2重合可表示为L1∩L2=L1=L2l思考4下列关系式成立吗？（1）A∩A=A；（2）A∩∅=∅。上面已经归纳总结除了交集的概念，现在具体给出概念，并用描述法和Venn图表示出交集。通过回顾，学生看到了交集运算的实例，方便下面例题的直接讲解。例3的设计在几何形式上对线的交集运算进行了考察，体现了交集运算的条件，巩固了学生对交集概念的理解，实现了交集运算的实际应用，同时也考察了学生分类讨论的能力。既可以考察学生对交集的理解，又向学生介绍了几个常用公式。（画Venn图） 随堂练习，巩固质疑l练习题1、ABC集合A、B、C的关系用Venn图表示如上，试用阴影画出下面集合运算后所代表的部分：A∩（B∪C）；（A∩B）∪C；A∩（B∩C）.2、设A={x|x2-4x-5=0}，B={x|x2=1}，试求A∪B和A∩B.解：A={x|(x-5)(x+1)=0}={-1，5}，B={-1，1}A∪B={-1，1，5}；A∩B={-1}3、已知：集合A={x|-2≤x≤5}，集合B=｛x|m+1≤x≤2m-1｝，若A∩B=B,求m的取值范围？解：由A∩B=B得BA.再结合数轴，可以知道：满足-2≤m+1且2m-1≤5故-3≤m≤34（板书）、已知集合A={–1，a2+1，a2–3}，B={–4，a–1，a+1}，且A∩B={–2}，求a的值.本题的设计考察了学生对集合交集、并集运算的理解，以及对Venn图的应用。同时，本题包含了交并结合的多步运算，运算的顺序不同，结果也不相同。（学生自己在下面练习，分别找三个同学上黑板画图，与学生互动交流，活跃课堂气氛。）对于列举法表示的集合间的基本运算，可以借助Venn图来进行分析求解。对于实数范围内两个区间构成的两个集合进行的集合间的运算，可以采用数轴帮助分析求解。 提示：分类讨论要到位，综合考虑集合的交集定义与集合的性质，特别是集合的互异性。解：因为A中元素a2+1≥1，所以不可能等于-2，所以a2–3=-2.即a=±1（1）当a=1时，A={–1，a2+1，a2–3}={-1，2，-2}B={–4，a–1，a+1}={-4，0，2}A∩B={2}≠{-2}，故不成立（2）当a=-1时，A={–1，a2+1，a2–3}={-1，2，-2}B={–4，a–1，a+1}={-4，-2，0}A∩B={-2}，成立综合（1）（2），可知a=-15、某班学生共50人，喜欢打羽毛球的有30人，喜欢打乒乓球的有25人，两样都喜欢的有15人，求两样都不喜欢的人数。提示：借助Venn图进行表示求解解：设I={某班学生}A={喜欢打羽毛球的人}B={喜欢打乒乓球的人}则A∩B={两样都喜欢的人}A∪B={两样至少喜欢一样的人}C={两样都不喜欢的人}则C与A∪B互为对立事件因为n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)所以至少喜欢一样的人数为：30+25-15=40（人）所以两样都不喜欢的人数：50-40=10（人）（注：提醒学生类似于A=30的写法是错误的）:对于含参的集合间的运算问题，可根据集合的性质和集合间的基本运算的定义进行判断分析，分类讨论，从而得出结果。本题的设计意在告诉学生利用集合可以更好地分析解决一些实际问题，让问题的思考更简单。并且“数形结合”的思想十分重要（结合Venn图进行分析）。同时点明在下节课学习全集和补集后，就不用考虑对立事件，也可以用上集合I，为下节课埋下伏笔。归纳小结l并集、交集的概念并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}l“数形结合”重视Venn图的作用，充分运用数形结合（数轴，Venn图）解决集合的运算问题，便于直观地解决问题。回顾本节课重点，并且总结在本节的学习过程中获得的一些学习方法，完成了这节课的学习目标。作业布置l必做A组：第6题、第7题B组：第3题l选做选出本节课后习题中合适的题目，分为选做和必做两种形式，让层次不同的学生都能获得充分的练习。 A组：第8题板书设计1.1.3集合间的基本运算一、并集例3：A∪B={x|x∈A，或x∈B}Venn图表示为：ABA∪B二、交集练习4：A∩B={x|x∈A且x∈B}Venn图表示为：ABA∩B