集合间的基本运算

3集合的基本运算一、学习目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题．4.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．二、知识梳理1．并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}2.并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪∅＝AA∩∅＝∅A⊆B⇔A∪B＝BA⊆B⇔A∩B＝A3．全集(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.4．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言5.补集的性质∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A.三、典型例题知识点一 集合并集的简单运算例1 (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于(  )A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8}C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,8}(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于(  )A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}答案 (1)A (2)C解析 (1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)在数轴上表示两个集合，如图．规律方法 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．跟踪演练1 (1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(  )A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3}(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.答案 (1)C (2){x|x＜－5，或x＞－3}解析 (1)∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}．(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来． 则M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．知识点二 集合交集的简单运算例2 (1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于(  )A．{2}B．{4}C．{0,2,4,6,8,16}D．{2,4}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(  )A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}答案 (1)D (2)A解析 (1)观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}．(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．规律方法 求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似．跟踪演练2 已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，求A∩B，A∪B.解 ∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥}，把集合A与B表示在数轴上，如图．∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0，或x≥}＝{x|－1＜x≤0，或≤x≤3}；A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x≤0或x≥}＝R.知识点三 已知集合交集、并集求参数例3 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．解 由A∩B＝∅，(1)若A＝∅，有2a＞a＋3，∴a＞3.(2)若A≠∅，如下图： ∴解得－≤a≤2.综上所述，a的取值范围是{a|－≤a≤2，或a＞3}．规律方法 1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证．跟踪演练3 设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．解 如下图所示，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.知识点四 简单的补集运算例4 (1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA等于(  )A．{1,2}B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5}D．∅(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁UA＝________.答案 (1)B (2){x|x＜1}解析 (1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}．(2)由补集的定义，结合数轴可得∁UA＝{x|x＜1}．规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．2．解题时要注意使用补集的几个性质：∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁UA)＝U.跟踪演练1 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁UA＝________.答案 {x|x＝－3，或x＞4}解析 借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3，或x＞4}．知识点五 交集、并集、补集的综合运算例5 (1)已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB等于(  )A．{3}B．{4}C．{3,4}D．∅(2)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(  ) A．{x|－2＜x≤1}B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}答案 (1)A (2)C解析 (1)∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁UB＝{3,4}，∴A∩∁UB＝{3}．(2)因为S＝{x|x＞－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．规律方法 1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．跟踪演练2 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．∵∁RA＝{x|x＜3，或x≥7}，∴(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．要点六 补集的综合应用例6 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B⊆∁RA，求a的取值范围．解 由题意得∁RA＝{x|x≥－1}．(1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA.(2)若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a＜a＋3，即－≤a＜3.综上可得a≥－.规律方法 1. 与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；2．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．跟踪演练3 已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩(∁RB)＝∅，求实数a的取值范围．解 ∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，因而要使A∩(∁RB)＝∅，结合数轴分析(如图)，可得a≤－1.四、课堂练习1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于(  )A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}答案 A解析 集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素．故选A.2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为(  )A．{2}B．{3}C．{－3,2}D．{－2,3}答案 A解析 注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．3．集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于(  )A．{1,2}B．{0,1,2}C．{x|0≤x＜3}D．{x|0≤x≤3}答案 B解析 由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，故P∩M＝{0,1,2}．4．已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－＜x＜}，则(  )A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆AD．A⊆B 答案 B解析 ∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－＜x＜}，∴A∩B＝{x|－＜x＜0，或2＜x＜}，A∪B＝R.故选B.5．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________．答案 k≤6解析 因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，且M∩N≠∅，所以－≥－3⇒k≤6.6．若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则∁MN等于(  )A．∅B．{1,3,5}C．{2,4}D．{1,2,3,4,5}答案 B解析 ∁MN＝{1,3,5}，所以选B.7．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁UA等于(  )A．{2}B．{3,4}C．{1,4,5}D．{2,3,4,5}答案 B解析 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}，∴B∩∁UA＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．8．已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(  )A．2个B．4个C．6个D．8个答案 B解析 ∵P＝{1,3}，∴子集有22＝4个．9.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为(  )A．{－1,2}B．{－1,0}C．{0,1}D．{1,2}答案 A解析 图中阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁UA)∩B＝{－1,2}． 10．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝________.答案 {x|0＜x＜1}解析 ∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，∴∁UA＝{x|0＜x＜1}．五、巩固训练1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于(  )A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案 A解析 结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．2．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于(  )A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}答案 A解析 集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.3．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于(  )A．{0}B．{0,2}C．{－2.0}D．{－2,0,2}答案 D解析 集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.4．设集合M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于(  )A．{x|1≤x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|2＜x≤3}D．{x|2≤x≤3}答案 A解析 ∵M＝{x|－3＜x＜2}且N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．5．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是(  )A．t＜－3B．t≤－3C．t＞3D．t≥3 答案 A解析 B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t＜－3.6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.答案 2解析 ∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，∴a＝2.7．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．解 (1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．(2)∵C＝{x|x＞－}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴－