人教高中高一数学1.2.1 函数的概念 讲义

高中数学必修系列：《集合与函数的概念》1.2.1函数的概念某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元，6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．同学们，你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗？1、函数的概念设A，B是非空的______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做______，x的取值范围A叫做函数y＝f(x)的______；与x的值相对应的y值叫做______，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数y＝f(x)的______，则值域是集合B的____．知识点总结：(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应，这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数．2、常见函数的定义域和值域函数函数关系式定义域值域正比例函数y＝kx(k≠0)____Rk反比例函数y＝(k≠0){x|____}{y|y≠0}x一次函数y＝kx＋b(k≠0)R____24acba＞0yy4a二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)R24acba＜0yy4a知识点总结：有时给出的函数没有明确说明其定义域，这时，它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值1范围．例如函数y＝x的定义域为{x|x≥0}，函数y＝的定义域为{x|x≠－1}．x＋1第1页共11页 高中数学必修系列：《集合与函数的概念》3、相等函数一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由______和________决定的．如果两个函数的定义域相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数相等．(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就________．故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则．x如y＝1与y＝不是相等函数，因为____________．y＝3t＋4与y＝3x＋4是相等函数．x(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．4、区间与无穷大(1)区间的概念．设a，b是两个实数，且a＜b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间______{x|a＜x＜b}开区间______{x|a≤x＜b}半闭半开区间______{x|a＜x≤b}半开半闭区间______这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．知识点总结：并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．(2)无穷大．“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，满足x≥a，x＞a，x≤a，x＜a的实数x的集合可用区间表示，如下表．定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)________________________第2页共11页 高中数学必修系列：《集合与函数的概念》课前预习题：1、下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是()A．x＝y2B．y＝x＋1C．x＋y＝0D．y＝x22、下列各组函数中，表示相等函数的是()x2－1A．y＝x－1和y＝B．y＝x0和y＝1x＋1x2xC．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝和g(x)＝xx23、已知f(x)＝2x＋1，则f(5)＝()A．3B．7C．11D．254、函数y＝2x＋1的定义域为________.5、用区间表示下列数集：(1){x|x≥0}＝________.(2){x|1≤x≤3}＝________.(3){x|x>1，且x≠2}＝________.第3页共11页 高中数学必修系列：《集合与函数的概念》专题1：函数概念的理解精讲例题1：(1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：1C．A＝R，B＝R，f：x→y＝D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1x－2(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是()变式训练1：(1)下列对应是否为A到B的函数：①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.(2)如图所示，能够作为函数y＝f(x)的图象的有________．第4页共11页 高中数学必修系列：《集合与函数的概念》专题2：求函数的定义域精讲例题2：(1)求下列函数的定义域：11①y＝4－x；②y＝；③y＝5－x＋x－1－.|x|－xx2－9(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．变式训练2：(1)求下列函数的定义域：11①f(x)＝；②f(x)＝3x＋2；③f(x)＝x＋1＋.x＋23－x(2)已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系为________，其定义域为________．第5页共11页 高中数学必修系列：《集合与函数的概念》专题3：相等函数的判断精讲例题3：下列各对函数中，是相等函数的序号是________.①f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0②f(x)＝2x＋12与g(x)＝|2x＋1|③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2变式训练3：下列各组式子是否表示相等函数，为什么？(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2；(2)y＝x2，y＝(x)2.(3)y＝x＋1·x－1，y＝x2－1；(4)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2.第6页共11页 高中数学必修系列：《集合与函数的概念》专题4：求函数值精讲例题4：x2已知f(x)＝，x∈R.1＋x21111(1)计算f(a)＋f()的值；(2)计算f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()的值．a234变式训练4：x2－1f2f10已知函数f(x)＝，则f(1)＋＋…＋＝________.x2＋1f1f1210第7页共11页 高中数学必修系列：《集合与函数的概念》专题5：求函数的值域1、分离常数法精讲例题5：3x＋2求函数y＝的值域.x－22、配方法精讲例题6：求函数y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域.第8页共11页 高中数学必修系列：《集合与函数的概念》3、换元法精讲例题7：求函数y＝x－2x－1的值域.变式训练5：2x－3求函数f(x)＝(－2≤x≤2且x≠－1)的值域．x＋1第9页共11页 高中数学必修系列：《集合与函数的概念》易错题：忽视区间中的隐含条件精讲例题8：集合B＝{x|m－1≤x≤2m}可以用区间A＝[m－1,2m]表示吗？变式训练6：已知区间[－2a,3a＋5]，则a的取值范围为________．第10页共11页 高中数学必修系列：《集合与函数的概念》课后检测题：1、下列四个方程中表示y是x的函数的是()①x－2y＝6；②x2＋y＝1；③x＋y2＝1；④x＝y.A．①②B．①④C．③④D．①②④2、函数y＝3－2x－x2的定义域是________.3、下列图形中表示函数图象的是()6－x4、函数y＝的定义域用区间表示为________.|x|－41225、已知函数f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x＋3)，若g[f(x)]＝x＋x＋1，求a的值.4第11页共11页