1.2.1函数的概念一、教材分析1.函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.2.通过学生的回顾，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。通过对实例的探究，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析问题、解决问题的能力。二、三维目标1﹑知识与技能：（1）掌握函数的概念，学会用函数的定义描述各类函数；（2）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；（3）掌握区间的概念，学会正确使用“区间”的符号表示函数的定义域与值域．2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）掌握求一些简单函数的定义域和值域的方法．3、情态与价值：通过“恩格尔系数”了解我国的经济发展状况，增加民族自豪感，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性．三、教学重点理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.四、教学难点符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.五、教学策略１．通过大量的实例让学生体会了解函数的概念．２．通过比喻的方式人学生理解函数的概念，符号“y=f(x)”的含义．六、教学准备教学手段：多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率．七、教学环节1、课堂导入复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；初中函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数.学过的函数：正比例函数：一次函数：
反比例函数：二次函数：1、课堂讲授⑴阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：思考：（课本P15）给出三个实例：A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是．B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况．C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表．讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个，按照某种对应关系，在数集B中都与唯一确定的和它对应，记作：⑵函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。注意：1.对符号“”的理解：①“”是函数符号，可以用任意字母表示，如等．②f(x)的含义：f(x)表示与对应的函数值，而不是乘，比如有一个人我们如果认识他就说张三，李四，不认识他可以说人，函数也是一样，如果知道一个函数就表示为，如果不知道就说函数y=f(x)，等．③f(x)与的区别与联系：一般而言，表示当时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量的函数，在一般情况下，它是一个变量．④符号表示从集合A到集合B的一个函数，是对应关系，在不同的问题中，其含义是不同的，它可以是一个或几个解析式，可以是图象﹑表格，也可以是文字描述．2．对函数概念的理解：①集合A、B必须是非空的数集．②A中的任意一个数x，都能在在集合B中找到唯一确定的数与它对应．③函数的定义域是集合A，值域是集合B．④函数是一种对应，是一对一或多对一，一对多的对应不是函数关系．⑤打个比方，函数就像一个加工厂，函数的定义域就是原料，值域就是产品，对应关系就是加工方法，原料是苹果，加工方法是榨汁，产品就是苹果汁，加工方法是做罐头，产品就是苹果罐头，原料是桃子，加工方法是榨汁，则产品就是桃汁．对应关系就是把自变量
怎样“加工”，比如，对应关系就是把先乘以2再加1，就是把平方．⑶我们学过函数的定义域﹑值域：①一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R，值域也是R；②二次函数(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。③反比例函数的定义域是，值域是。⑷区间及写法：设a、b是两个实数，且a5}、{x|x≤-1}、{x|x0时，求的值。分析：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围;有意义,则x+3≥0,有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组.(2)让学生回想f(-3),f()表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f()表示自变量x=时对应的函数值.分别将-3,代入函数的对应法则中得f(-3),f()的值.(3)f(a)表示自变量x=a时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值.分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值.解：(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3≤x-2,即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞).
(2)f(-3)=+=-1;f()==.(3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞),即f(a),f(a-1)有意义.则f(a)=+;f(a-1)==.⑹相等函数：构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。例２．下列函数中哪个与函数相等？⑴ ⑵⑶ ⑷解：⑴（）与函数（）定义域不同，所以两个函数不相等．⑵（）与（）不仅定义域相同，而且对应关系也相同，所以两个函数相等．⑶（）与函数（）定义域相同，但是对应关系不同，所以两个函数不相等．⑷定义域是{x|x≠0}，与函数（）定义域不同，所以两个函数不相等．课堂练习1.求函数y=的定义域.答案：{x|x≤1,且x≠-1}.2.若f(x)=的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R,则M∩N等于()A.MB.NC.MD.N
分析:由题意得M={x|x>0},N=R,则M∩N={x|x>0}=M.答案：A3.已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________.分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.答案：［0,1］4.判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.①y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;②y=与y=·;③y=1+与u=1+;④y=x2与y=x;⑤y=2|x|与y=⑥y=f(x)与y=f(u).是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;⑤函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.故填③⑤⑥.1、课堂活动：1.教师引导学生探究函数的概念及其有关概念，学生自己学习区间的概念，相等函数的概念． ２．学生自主完成课堂练习，教师订正．４﹑课堂小结：①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。5﹑作业布置课本P24习题1．2（A组）第1,2,4题（B组）第1题一、板书设计函数及其表示1.2.1函数的概念一﹑教材分析二﹑三维目标三﹑教学重点四﹑教学难点五﹑教学策略六﹑教学准备七﹑教学环节
一、教学反思：１．通过大量实例和打比喻让学生真正了解函数概念是本节的重点，从而为解决后面的问题打下基础． ２．引领学生不断探究解决问题，逐步培养分析问题解决问题的能力贯穿整个课堂．
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