1.2.1 函数的概念教学设计

沧源民族中学高一年级数学教学设计2011年8月22日第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念主备教师:陈本川一、内容及其解析函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。函数的学习也是今后继续研究数学的基础。在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。二、教学目标知识目标——通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。能力目标——培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。情感目标——渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。三、教学问题学习中可能出现的问题是：分段函数及函数符号7 沧源民族中学高一年级数学教学设计2011年8月22日的不理解；以及什么样的函数选择什么样的表示法。四、教学过程设计情景设置：在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：（1）估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据。从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表2-1-1所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？表2-1-11949--1999年我国人口数据表年份19491954195919641969197419791984198919941999人口数/百万5426036727058079099751035110711771246（2）一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y=4.9x2。若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？问题1：我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？问题2：我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数y=x与函数表示同一个函数吗？学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。这就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书）师：（实例1）演示动画，用《几何画板》动态地显示炮弹高度h关于炮弹发射时间t的函数。启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h与之相对应。生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。师：（实例2）引导学生看图，并启发：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积S与之相对应。生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。师生：（实例3）共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。7 沧源民族中学高一年级数学教学设计2011年8月22日问题3：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班交流。师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应，记作f:A→B。问题4：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上教师归纳总结）设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在数集B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）.记作y=f(x)．x∈A．自变量x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．在函数概念得出后，教师强调指出“y=f(x)”仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号y=f(x)的含义，教师提出下一个问题：问题5：y=f(x)一定就是函数的解析式吗？师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。补充练习：下列图象中不能作为函数的图象的是（）（A）（B）（C）（D）启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点：1．函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应；2．函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域A的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在B中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合B中并非所有的元素在定义域A中都有元素和它对应；值域；7 沧源民族中学高一年级数学教学设计2011年8月22日3．函数符号y=f(x)的说明：（1）“y=f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；（2）y=f(x)不一定能用解析式表示；（3）f(x)与f(a)是不同的，通常，f(a)表示函数f(x)当x=a时的函数；（4）在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、φ(x)等符号来表示。4．定义域是函数的重要组成部分，如f(x)=x(x∈R)与g(x)=x(x≥0)是不同的两个函数。问题6：集合A（A=R）到集合B（B=R）的对应：f:A→B，使得集合B中的元素与集合A中的元素x对应，如何表示这个函数？定义域和值域各是什么？函数呢？函数呢？教师演示动画，用《几何画板》显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：函数一次函数反比例函数二次函数对应关系定义域值域问题7：函数的三要素是什么？教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如当函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。问题8：比较函数的近代定义与传统定义的异同点，你对函数有什么新的认识？学生思考、讨论，教师点拨：函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。问题9：学生在前面学习的基础上，反思对问题2的解答，重新思考问题2，谈谈自己的认识。教师启发、引导学生画图，以形求数。7 沧源民族中学高一年级数学教学设计2011年8月22日师生：是函数；与不是同一个函数。问题10：如何判断两个函数是否相同？引导学生对问题2进行抽象概括并归纳总结：当两个函数的定义域、对应关系完全一致时，我们就称这两个函数相等。问题11：研读课本，叙述区间的概念。请同学们在阅读后填写下表：定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间教师指导学生自学，解决学生提出的问题，并指出说明：（1）区间是集合；（2）区间的左端点必小于右端点；（3）无穷大是一个符号，不是一个数；（4）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号。例1．已知函数（1）求函数的定义域；（2）求的值；（3）当时，求的值。让学生思考，并提问个别学生。师问：怎样求函数的定义域？追问：与有何区别与联系？点拨：表示当自变量时函数的值，是一个常量，而是自变量的函数，它是一个变量，是的一个特殊值。7 沧源民族中学高一年级数学教学设计2011年8月22日例2．下列函数中哪个与函数y=x相等？（1）（2）（3）师问：判断函数相等的依据是什么？变式：若改（2）为呢？思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗？例3．已知函数（1）画出函数的图象；（2）求的值；（3）你从（2）中发现了什么结论？（4）求函数的值域。教师引导学生解决此题的关键点，并进行变式：变式1：已知①当时，求函数的值域；②当时，求函数的值域。变式2：已知①当函数值域为时，求函数定义域；②当函数值域为时，求函数定义域。变式3：（1）已知求的值。变式（2）已知求函数.课堂练习：课本第19页练习1．2．3．以学生回答、板演的形式进行，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学生相互交流来巩固本节课的学习（三）、本课小结以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组讨论，对本节课所学的内容进行自主小结，教师及时进行归纳总结：1．函数的近代定义与传统定义的异同点；2．集合与函数的联系、区别；3．函数的三要素；7 沧源民族中学高一年级数学教学设计2011年8月22日4．数形结合的思想。（四）、配餐作业1．阅读作业：通读教材，复习巩固，并思考表示函数有哪些方法？从例3(2)中你能发现更一般性的结论吗？2．书面作业：课本第24页习题1．2．3．4．5．7