1．2函数及其表示1．2.1函数的概念
1．理解函数的概念，明确函数的三要素．2．能正确使用区间表示数集．3．会求一些简单函数的定义域．1．求函数定义域．(重点)2．对函数符号y＝f(x)的理解．(难点)
1．函数的概念(1)函数的定义设A，B是非空的_____，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的____________，在集合B中都有_________________和它对应，那么就称__________为从集合A到集合B的一个函数，记作____________.函数y＝f(x)中，x叫自变量，_____________叫函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做_______，函数值的集合___________叫做函数的值域．显然，值域是集合B的_____．数集任意一个数x唯一确定的数f(x)f：A→By＝f(x)，x∈Ax的取值范围函数值{f(A)|x∈A}子集
2．区间与无穷的概念(1)区间定义及表示设a，b是两个实数，而且a＜b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b)
{x|a≤x＜b}左闭右开[a，b){x|a＜x≤b}左开右闭(a，b]
(2)无穷概念及无穷区间定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)
3.函数的三要素(1)函数的三要素是函数的__________________和_____．(2)函数相等：由于函数的值域是由_________和________确定的，所以，如果两个函数的______相同，并且________完全一致，就称这两个函数相等．定义域、对应关系值域定义域对应关系定义域对应关系
解析：对于A、C，函数定义域不同；对D，两函数对应关系不同，故选B.答案：B
答案：A
3．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________.(2){x|2－1且x≠2}＝________.答案：(1)[1，＋∞)(2)(2,4](3)(－1,2)∪(2，＋∞)
题号正误原因①×A中的元素0在B中没有对应元素②√对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应[解题过程]
③×A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素④√对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应集合.⑤×集合B不是数集⑥×集合A中的元素3在B中没有对应元素，且A中元素2在B中有两个元素5和6与之对应
[题后感悟]判断一个对应关系是否为函数要依据函数的定义，把握3个要点：①两集合是否为非空数集；②对集合A中的每一个元素，在B中是否都有元素与之对应；③A中任一元素在B中的对应元素是否唯一．简单地说，函数是两非空数集上的单值对应．
(3)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有对应元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝1，在集合B中都有唯一一个确定的数1与它对应，故是集合A到集合B的函数．
[题后感悟]定义域的求法：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
[策略点睛]：
[题后感悟](1)已知f(x)定义域为A，如何求f(g(x))的定义域？①将g(x)放入f(x)的定义域之内，即g(x)∈A；②解不等式g(x)∈A，求x范围．如：已知f(x)定义域为[1,2]，求f(2x－1)定义域，只需解不等式1≤2x－1≤2；③结论．
[注意]f(g(x))中的g(x)相当于f(x)中的x.(2)已知f(g(x))定义域为A，如何求f(x)定义域？①由x∈A，求g(x)范围；②f(x)的定义域就是g(x)的范围．[注意]f(g(x))定义域为A，指的是x∈A，而不是g(x)∈A.(3)经过分类讨论求变量的取值范围，如何判断分类的结果是取交集还是并集，还是既不取交集也不取并集？
①明确求的量，如本例求的是x的范围，而不是m的范围；②明确是对哪个量进行的分类讨论，如本例是对m进行分类，而不是对x分类；③如果求的量与分类的量是同一个量，则结果取并集，如在解|x－1|＋|2x＋1|≤5时，求的是x范围,也是对x进行分类，因此最后是将各种分类结果取并集；④如果求的量与分类的量不是同一个量，如本例,则最后既不取交集也不取并集．[注意]分类讨论的问题最后需进行总的概括．
解析：(1)∵f(x)的定义域为[0,2]，∴f(x－1)的自变量满足0≤x－1≤2.∴1≤x≤3，∴f(x－1)的定义域为[1,3]．(2)∵f(x＋1)的定义域为[－1,1]∴－1≤x≤1，∴0≤x＋1≤2，∴f(x)的定义域为[0,2]．
由题目可获取以下主要信息：①已知函数的解析式；②由解析式可确定函数定义域．解答本题结合相等函数的定义判断函数三要素是否一致即可．
[解题过程](1)两个函数的定义域相同，都是R，但f(x)＝|x|，g(x)＝x，它们的对应关系不同，故不是相等函数．(2)函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，函数g(x)的定义域为R，定义域不同，故不是相等函数．(3)函数f(x)，g(x)定义域，对应关系，值域都相同，故是相等函数．
[题后感悟](1)如何判断两个函数是否相同？①判断定义域是否相同；②判断对应法则是否相同；③结论：如果①和②都肯定，则两个函数相同；如果①和②中有一个否定，则两个函数不同．
(2)判断两个函数是否相同的注意事项：①如果两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数不一定相同，如f(x)＝x2＋1与g(x)＝|x|＋1，两个函数的定义域、值域分别相同，都是[1，＋∞)，但它们的对应法则不同，因此它们不是同一函数．②因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4表示同一函数．,
解析：(1)两个函数的定义域显然不同，故两个函数不是相等函数；(2)定义域不相同，故两个函数不是相等函数；(3)定义域、对应关系、值域均相同，故两个函数是相等函数；(4)两个函数的定义域相同，都是R；∵f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3，对应关系，值域均不同，故两个函数不是相等函数．
1．函数符号的理解(1)对应关系f是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是对应关系所施加的对象；f是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述．y＝f(x)仅仅是函数符号，不能理解为“y等于f与x的乘积”．(2)虽然f(x)＝x2和f(x－1)＝x2等号右边的表达式都是x2，但是，由于f施加的对象不同(一个为x，而另一个为x－1)，因此两个函数的解析式是不同的．
2．正确使用区间符号区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具．应用时一定要弄清各种区间的含义及它们的区别，如[－1,1]表示{x|－1≤x≤1}，而[－1,1)表示{x|－1≤x＜1}等．[注意](1)无穷大是一个符号，不是一个具体的数．因此不能将[1，＋∞)写成[1，＋∞]；(2)若[a，b]是确定区间，则一定有a＜b.
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