新人教A版必修1 高中数学 1.2.1 函数的概念 教案

1.2.1 函数的概念1.知识与技能(1)通过丰富的实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;(2)用集合与对应的语言刻画函数;理解函数的三要素及函数符号f(x)的含义;(3)会求一些简单函数的定义域及值域.2.过程与方法让学生通过合作探究,经历函数概念的形成过程,渗透归纳推理的数学思想,培养学生的抽象概括能力,体会数学形成和发展的一般规律,强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想.3.情感、态度与价值观(1)树立“数学源于实践,又服务于实践”的数学应用意识;(2)渗透数学思想,强化学生参与意识,培养学生严谨的学习态度;同时感受数学的抽象性和简洁美,激发学生学习数学的热情.重点:体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,理解函数的概念.难点:函数概念及函数符号y=f(x)的理解.(1)重点的突破:以学生熟知的函数及初中函数的定义为切入点,引导学生结合具体实例,分组交流讨论,归纳概括出实例的共同特点,在此基础上,结合集合知识,利用对应的观点形成函数概念的教学,整个过程通过学生的“观察→分析→比较→归纳→概括”,最终由特殊到一般,由具体到抽象,从感性认识上升到理性认识,在培养学生抽象概括能力的同时重难点也得以突破.(2)难点的解决:理解函数符号y=f(x)是本节课的另一个难点,为此,应采用分层推进的方式化解难点.首先,从实例出发,引出数学符号f(x)的抽象含义,通过用“加工厂”(如下图所示)的类比,突破难点,让学生对函数的理解上升一个台阶.x ⇒ f加工 ⇒ f(x)(原料库) (加工厂)  (成品库)4 函数概念发展史1.早期函数概念——几何观念下的函数1673年,莱布尼茨首次使用“function”(函数)表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用“流量”来表示变量间的关系.莱布尼茨2.18世纪函数概念——代数观念下的函数1718年,约翰·贝努利(BernoulliJohann,瑞,1667—1748)在莱布尼茨函数概念的基础上对函数概念进行了定义:“由任一变量和常数的任一形式所构成的量.”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数,并强调函数要用公式来表示.18世纪中叶欧拉(L.Euler,瑞,1707—1783)给出了定义:“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式.”他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数和超越函数,还考虑了“随意函数”.不难看出,欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义.3.19世纪函数概念——对应关系下的函数1821年,柯西(Cauchy,法,1789—1857)从定义变量起给出了定义:“在某些变数间存在着一定的关系,当已经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着确定时,则将最初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数.”在柯西的定义中,首先出现了自变量一词,同时指出对函数来说不一定要有解析表达式.不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示,这是一个很大的局限.1822年,傅里叶(Fourier,法,1768—1830)发现某些函数也可以用曲线表示,也可以用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,把对函数的认识又推进了一个新的层次.4 1837年,狄利克雷(Dirichlet,德,1805—1859)突破了这一局限,认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的x值,y都有一个确定的值,那么y叫做x的函数.”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述,以清晰的方式被所有数学家接受.这就是人们常说的经典函数定义.等到康托(Cantor,德,1845—1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,维布伦(Veblen,美,1880—1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的极限,变量可以是数,也可以是其他对象.4.现代函数概念——集合论下的函数1914年,豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数,其避开了意义不明确的“变量”“对应”概念.库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义更严谨了.1930年,新的现代函数定义为“若对集合M中的任意元素x,总有集合N中确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x).元素x称为自变元,元素y称为因变元”.抽象函数的定义域问题抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,与其有关的问题解答起来,大多数学生感到棘手.下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及其解法.1.已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域若f(x)的定义域为{x|a≤x≤b},则在f(g(x))中,a≤g(x)≤b,从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域.【例1】已知函数f(x)的定义域为[-1,5],求函数f(x-5)的定义域.解:由-1≤x-5≤5,得4≤x≤10,所以函数f(x-5)的定义域是[4,10].2.已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域若f(g(x))的定义域为{x|m≤x≤n},则由m≤x≤n确定g(x)的范围,设u=g(x),则f(g(x))=f(u),又f(u)与f(x)表示同一函数,所以g(x)的取值集合即为f(x)的定义域.【例2】已知函数f(x-1)的定义域是[0,3],求函数f(x)的定义域.4 解:由0≤x≤3,得-1≤x-1≤2,所以函数f(x)的定义域是[-1,2].3.已知f(g(x))的定义域,求f(h(x))的定义域先由f(g(x))的定义域求得f(x)的定义域,再由f(x)的定义域求得f(h(x))的定义域.【例3】若函数f(x+1)的定义域为,求函数f(x-1)的定义域.解:由题意知-≤x≤2,则≤x+1≤3,即f(x)的定义域为.由≤x-1≤3,解得≤x≤4.所以f(x-1)的定义域是.4.求运算型的抽象函数(由有限个抽象函数经四则运算得到的函数)的定义域先求出各个函数的定义域,再求交集.【例4】若函数f(x)的定义域为[-3,5],求函数φ(x)=f(-x)+f(x)的定义域.解:已知函数f(x)的定义域为[-3,5],则函数φ(x)中的自变量x需满足解得-3≤x≤3.所以函数φ(x)的定义域为[-3,3].4