高中数学必修一教案《函数的表示法》教案教学目标1、明确函数的三种表示方法，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力．3、了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断某种“对应关系”是否是映射．4、通过本节内容的学习，能够加深对函数概念的理解，以及通过学习映射，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的认识．教学重难点重点：函数的三种表示方法；分段函数的概念；映射的概念．难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象；判断某种“对应关系”是否是映射．教学过程一、情景导入语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:HappyBirthday!……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．请同学们回忆一下我们初中接触过的函数的表示方法．二、提出问题初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？三、讨论结果1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）．2、图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法，如1.2.1的实例（2）．3、列表法：用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法，如1.2.1的实例（3）．四、例题讲解例3某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元，7
高中数学必修一教案试用函数的三种表示法表示函数．分析：注意本例的设问，此处“”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是表格．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数表示为．用列表法可将函数表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数表示为图1.2-2．图1.2-2思考：比较三种方法，它们各自的特点是什么？所有函数都能用解析法表示吗？点评：解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等；图象法的特点是：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股市走势图等．但是并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．注意：7
高中数学必修一教案（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；（2）解析法：必须注明函数的定义域；（3）列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；（4）图象法：是否连线．例4表1-2是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：表1-2第1次第2次第3次第4次第5次第6次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况．如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图像表示出来，如图1.2-3，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况．这对我们的分析很有帮助．图1.2-3从图1.2-3我们看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高.思考：本例能否用解析法？为什么？点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，7
高中数学必修一教案以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点.例5画出函数的图象.解：由绝对值的概念，我们有所以，函数的图象如图1.2-4所示.图1.2-4例6某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为元，里程为公里，由题意可知，自变量的取值范围是.由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图像，如图1.2-5.7
高中数学必修一教案图1.2-5注意：（1）本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；（2）分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.我们把例5、例6这样的函数称为分段函数.生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费，个人所得税纳税额等等.函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”.当我们将数集扩展到任意的集合时，就
可以得到映射的概念.例如，欧洲的国家构成集合A，欧洲各国的首都构成集合B，对应关
系f：国家a对应于它的首都b.这样，对于集合A中的任意一个国家，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的首都与之对应.我们将对应f：A→B称为映射.
一般地，我们有：设A，B是两个非空的集合.如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.在我们的生活中，有很多映射的例子.例如，设集合，
集合，对应关系f：电影票的号码对应于电影院的座位号，
那么对应f：A→B是一个映射.例7以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；7
高中数学必修一教案（2）集合A=｛P|P是平面直角坐标系中的点｝，集合，对应关系f：与它的坐标对应；（3）集合A=｛x|x是三角形｝，集合B=｛x|x是圆｝，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A=｛x|x是新华中学的班级｝，集合B=｛x|x是新华中学的学生｝，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.解：（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一个映射.五、课堂小结本节教学设计容量较大，首先学习了函数的三种表示方法，要求在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数；然后学习了求分段函数解析式以及分段函数的画法；最后学习了映射的概念,要求能够判断某种“对应关系”是否是映射.六、巩固练习题1等腰三角形的周长是20，底边长是一腰长的函数，则（）.A.B.C.D.解：根据等腰三角形的周长列出函数解析式.因为，所以.因，所以.由构成三角形的条件（两边之和大于第三边）可知，得，所以函数的定义域为.所以.所以正确答案为D.题2某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A地.试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t的函数.分析：本题中的函数是分段函数，要由时间t属于哪个时间段，得到相应的解析式.7
高中数学必修一教案解：从A地到B地，路上的时间为260/52=5(小时)；从B地回到A地，路上的时间为260/65=4(小时).所以走过的路程s(千米)与时间t的函数关系式为：题3已知集合，，则下列对应不是从A到B的映射的是( ).解：A、B、D均满足映射定义，选项C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．故选C.七、布置作业课后练习1、2、3、4.7
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