《函数的表示法》

《函数的表示法》教学设计宁夏银川市第九中学高晓萍一．教学目标1．明确函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），通过具体的实例，了解简单的分段函数及其应用。2．通过解决实际问题的过程，在实际情境中能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，发展学生思维能力。3．通过一些实际生活应用，让学生感受到学习函数表示的必要性；通过函数的解析式与图象的结合渗透数形结合思想。二．教学重点和难点教学重点：会根据不同的实际情境需要选择恰当的方法表示函数。教学难点：分段函数的表示。三．教学准备教具：直尺、多媒体设备。四．教学过程设计（一）回顾旧知，复习引入1．复习函数的概念。2．函数的三种表示法。（二）实例引入，理解新知回顾上节课中的三个实例：（1）炮弹发射：（解析法）（2）南极臭氧层的空洞：（图象法）ts0（3）恩格尔系数：（列表法） 时（年）19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系（%）53．852．950．149．949．949．646．444．541．939．237．2问题：（1）比较三种函数的表示法，它们各自有哪些优、缺点？（2）所有的函数都能用解析法表示吗？举出一个函数，并分别用三种表示法表示。学生交流讨论并回答。解析法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数．图象法的优点：直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．在研究函数时，根据问题的特点，往往需要同时借助几种不同的函数表示法研究函数，如同时采用解析法和图象法表示函数，加强数形结合，这是研究函数的常用方法．（三）例题精析、深化理解1．用三种表示法表示同一个函数。例1．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数．分析：注意本例的设问，此处“”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表。活动：学生独立解答，教师个别辅导解：这个函数的定义域是数集。用解析法可将函数表示为用列表法可将函数表示为笔记本数x12345钱数y510152025 用图象法可将函数表示为注意：（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；（2）解析法：必须注明函数的定义域；否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；（3）图象法：根据函数定义域来决定是否连线；（4）列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．练习1：下列给出的四个图形中，是函数图象的是（）A①B①③C①②③D③④xy0xy0xy0xy0①②③④思考：判断一个图形是否是函数图象的依据是什么？答：平行于y轴的直线（或y轴）与图形至多一个交点。2．选择适当方法表示函数，以便分析其特点。例2：下表是我国三名射击运动员参加2010年射击世界杯男子10米汽手枪比赛成绩及所有参赛运动员的平均成绩。请你对三位运动员在本次比赛的成绩做一个分析。表格能否直观地分析出三位运动员的成绩高低？如何才能更好的比较三个人的成绩高低？成绩次数平均成绩1010.39.310.5101010.29.610.3910.29.810.410.589.99.69.710.47109.89.79.99.710.2运动员平均成绩9.49.59.49.299.3刘天佑10.19.89.710.29.810.5王涛10.41010.110.310.210.8朱启南654321 分析：学生思考做成绩分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？活动：学生讨论并回答。解：从表中可以知道每位运动员在每次射击中的成绩，但不太容易分析每位运动员的成绩变化情况．如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如图，就能比较直观地看到成绩变化情况．这对我们进行分析学习情况是有利的．把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数，如图所示。3125461098791011朱启南王涛刘天佑平均成绩yx0从图中可以看出，朱启南成绩始终高于参赛运动员的平均成绩，成绩较稳定，而且优秀；王涛的成绩不稳定，总在参赛运动员的平均成绩上下波动，而且波动较大；刘天佑成绩虽低于平均成绩，但呈上升趋势。表明他的成绩稳步提高，是一名很有潜力的运动员。注意：图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，直观感受三个函数的图象具有整体性，也便于分析成绩情况，加以比较。3．分段函数及其表示 例3：银川市出租车资费规定如下：（1）3公里以内（含3公里）5元；（2）3公里以上，每增加1公里，资费增加1.2元（不足1公里按1公里计算）．某线路总里程为6公里，请根据题意写出资费与里程之间函数的解析表达式，并画出函数的图象。活动：学生讨论交流题目的条件，弄清题意。教师用几何画板模拟演示。解：设资费为y元，里程为x公里．由题意，自变量x的取值范围是（0，6）．根据解析式画出的图象如图所示．xy52134656.27.48.60列表法里程x票价y56.27.48.6注意：1．所谓的分段函数，就是在函数的同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数；2.分段函数的解析式应写成函数值几种不同的表达式并用一个大括号括起来；3．本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义。4．课堂练习教科书第23页，练习，1，2，3．四、归纳小结，提高认识1.学习小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？ 函数的表示方法有三种，各有优、缺点；应该根据不同的问题、不同的要求选择恰当的方法表示它，以便研究函数某些性质．还学习了什么样的函数是分段函数．用到了数形结合的思想方法。2．作业布置：习题1.2A组7,8,9补充练习网邮货物：从北京到银川圆通公司收费标准如下1公斤以内（含1公斤）收费6元，以后每超过1公斤加价3元（不足1公斤的按1公斤计算）现邮5公斤货物，请根据题意，写出重量与收费之间的函数解析式，并画出函数图象。《函数的表示法》教学设计说明宁夏银川市第九中学高晓萍一、教材内容分析函数是高中数学的重要内容，函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一。学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的。同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法。函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法。因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性。二、教学目标分析根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，我从知识、能力和情感三个方面制订教学目标。 1．明确函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），通过具体的实例，了解简单的分段函数及其应用。2．通过解决实际问题的过程，在实际情境中能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，发展学生思维能力。3．通过一些实际生活应用，让学生感受到学习函数表示的必要性；通过函数的解析式与图象的结合渗透数形结合思想。三、教学问题诊断分析（1）初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．高中阶段重点是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，使学生会根据实际情境的需要选择恰当的表示方法。因此，教学中应该多给出一些具体问题，让学生在比较、选择函数模型表示方式的过程中，加深对函数概念的整体理解，而不再误以为函数都是可以写出解析式的。（2）分段函数大量存在，但比较繁琐。一方面，要加强用分段函数模型刻画实际问题的实践，另一方面，还可以通过动画模拟，让学生体验到，分段函数的问题应该分段解决，然后再综合。这也为下一步研究分段函数的单调性等性质打下伏笔。四、本节课的教法特点以及预期效果分析（一）．本节课的教法特点根据教学内容，结合学生的具体情况，我采用了学生自主探究和教师启发引导相结合的教学方式。在整个的教学过程中让学生尽可能地动手、动脑，调动学生积极性，充分地参与学习的全过程。倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生能够利用函数来处理信息的能力。（二）．本节课预期效果1．通过具体的实例，让学生体会函数三种表示法的优、缺点。创造问题情景这种情景的创设以具体事例出发，印象深刻。所以在引入时先从函数的三要素入手，强调要素之一对应关系，然后给出三个具体实例：（1）炮弹发射时，距离地面的高度随时间变化的情况；（2）用图表的形式给出臭氧层空洞的面积与时间的关系；（3）恩格尔系数的变化情况。指出每种对应分别以怎样的形式展现。引出函数的表示方法这一课题。因为我们这节课的重点是让学生在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当 的表示方法。会选择的前提是理解，这些完全靠学生的现实经验，让学生自己去发现各自的优劣。这为第一道例题打下基础。例1通过具体例子，让学生用三种不同的表示方法来表示的同一个函数，进一步理解函数概念。把问题交给学生，学生独立完成，并自己检查发现问题，加深学生对三种表示法的深刻理解。学生思考函数表示法的规定。注意本例的设问，此处“”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表。由于这个函数的图象由一些离散的点组成，与以前学习过的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线不同。通过本例，进一步让学生感受到，函数概念中的对应关系、定义域、值域是一个整体．函数y＝5x不同于函数y＝5x（x∈｛1，2，3，4，5｝），前者的图象是（连续的）直线，而后者是5个离散的点。由此认识到：“函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等。”并明确：如何判断一个图形是否是函数图象方法？2.让学生会根据不同的实例选择恰当的方法表示函数例2用表格法表示了函数。要“对这三位运动员的成绩做一个分析”不太方便，因此需要改变函数表示的方法，选择图象法比较恰当。教学中，先不必直接把图象法告诉学生，可以让学生说说自己是如何分析的，选择了什么样的方法来表示这三个函数．通过比较各种不同的表示方法，达成共识：用图象法比较好。培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力。学生经过观察、思考获得结论．比如总体水平（朱启南成绩好）、变化趋势（刘天佑的成绩在逐步提高）、与运动员的平均分的比较，等等。培养学生的观察能力、获取有用信息的能力。同时要求学生注意图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，直观感受三个函数的图象具有整体性，也便于分析成绩情况，加以比较。3．通过具体的实例，了解分段函数及其表示生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税税额等等。通过例3的教学，让学生了解分段函数及其表示。为了便于学生理解，给出了实际情况的模拟。可以使函数在数与形两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合的数学思想方法。