高一数学 1.3.1 单调性与最大（小）值（人教版必修）

第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大（小）值 学习目标1.通过对已学函数图象的观察,理解函数的单调性及其几何意义.能根据图象的升降特征,划分函数的单调区间.理解增(减)函数的定义,会证明函数在指定区间上的单调性.2.通过对一些熟悉函数的观察，理解函数最大(小)值的定义,并会利用单调性求其最值.3.理解函数奇偶性的含义，体会此时函数图像的特征.会用奇偶性的定义判断函数的奇偶性. 函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果了解了函数的变化规律,那么也就基本把握了相应事物的变化规律.请您观察下列函数图象,说下对图象的认识.一、观察 观察函数f(x)=x与f(x)=x2的图象是怎样变化的,它们有怎样的升降规律?不同的函数,其图象的变化趋势可能也不同,同一函数在不同区间上的变化趋势也不一定相同.函数图象的这种变化规律反映了函数的一个重要性质---函数的单调性一、观察 函数值随着自变量的增大而增大具有这种性质的函数叫做增函数.二、单调性的定义图形语言符号语言 二、单调性的定义具有这种性质的函数叫做减函数.图形语言符号语言函数值随着自变量的增大而减小文字语言 例1右图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出y＝f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝f(x)是增函数还是减函数．-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，解：其中y＝f(x)在[－5,－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．三、例题 三、例题 三、例题 请您观察下列图象,比较两个函数图象及其值域,您能发现什么?四、最大(小)值 请您观察函数图象,说明最大值的含义四、最大(小)值 例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的系式为：h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少？解:作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如右图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.四、最大(小)值 所以,函数在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即126解：因为函数是区间[2,6]上的减函数.在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.例4.求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．利用函数单调性的求函数的最大(小)值 练习 3、求函数最值的一般方法(1)对于熟悉的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数等,可以先画出在其定义域的图象求其最值.(2)对于不熟悉的函数可以先画出其图象,观察其单调性,再用定义证明,然后利用单调性求其最值.2、用定义证明函数的单调性五、小结1.函数单调性的定义