www.canpoint.cn函数的最大(小)值年级:高一学科:数学执笔:审核:学习目标:(1)理解函数的最大(小)值及其几何意义.(2)学会运用函数图象理解和研究函数的最值,培养数形结合的数学思想.(3)利用函数的单调性求函数的最值.(4)能解决日常生活中的简单的实际问题,激发学生学习的积极性.教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值.一、课前准备预习课本的内容,并思考以下问题:1.画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征?①②③④2.根据图像指出最高点或最低点:①最高点无,最低点无;②最高点,最低点;③最高点无,最低点;④最高点,最低点.二、自主学习1.函数最大(小)值定义.最大值:一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:(1)对于任意的,都有;(2)存在,使得.那么,称是函数的最大值.动动手:依照函数最大值的定义,结出函数的最小值的定义.最小值:一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:www.canpoint.cn010-5881806758818068canpoint@188.com第4页共4页
www.canpoint.cn(1)对于任意的,都有;(2)存在,使得.那么,称是函数的最小值.怎么理解上面的概念?①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在,使得;②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的,都有.三、师生互动【例1】求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.【解析】因为,所以,所以,于是,所以在区间[2,6]上的最大值是,最小值是.图像法:作出图像,可以看出,当,有最大值,当时,有最小值.动动手:求的最大值.【解析】作出图像,如图,当时,有最大值,当时,有最小值.【例2】求函数的最大值.【解析】令,则,,所以,配方得,当,即时,有最大值.动动手:求函数的最小值【解析】解法一:因为与在定义域上都是增函数,所以当时有最小值.解法二:,则,,www.canpoint.cn010-5881806758818068canpoint@188.com第4页共4页
www.canpoint.cn所以,配方得,所以当即时,有最小值.【例3】将进货单价40元的商品按50元一个售出时,能卖出500个,若此商品每个涨价1元,其销售量减少10个,为了赚到最大利润,售价应定为多少?【解析】设利润为元,每个售价为元,则每个涨(-50)元,从而销售量减少,∴答:为了赚取最大利润,售价应定为70元.动动手:一个星级旅馆有150个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的数据如下:房价(元)住房率(%)16055140651207510085欲使每天的的营业额最高,应如何定价?【解析】根据已知数据,可假设该客房的最高价为160元,并假设在各价位之间,房价与住房率之间存在线性关系.设为旅馆一天的客房总收入,为与房价160相比降低的房价,因此当房价为元时,住房率为,于是得.由于,可知.因此问题转化为:当时,求的最大值的问题.将的两边同除以一个常数0.75,得.由于二次函数在=25时取得最大值,可知也在=25时取得最大值,此时房价定位应是160-25=135(元),相应的住房率为67.5%,最大住房总收入为13668.75(元).所以该客房定价应为135元.(当然为了便于管理,定价140元也是比较合理的).四、归纳总结求函数最值的常用方法有:(1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的最值;(2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值;(3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值.特别提醒:有最值时应指出何时取到,没有时应指出“无最大值”等.五、反馈练习1.函数在区间上是减函数,则y的最小值是(A)www.canpoint.cn010-5881806758818068canpoint@188.com第4页共4页
www.canpoint.cnA.1B.3C.-2D.52.函数的最大值是(B)A.8B.C.4D.3.函数在区间上有最小值,则的取值范围是(A)A.B.C.D.4.的最大(小)值情况为(C)A.有最大值,但无最小值B.有最小值,有最大值1C.有最小值1,有最大值D.无最大值,也无最小值5.函数的最大值是6.6.已知,.则的最大值与最小值分别为12、6..7.求函数的最大值.【解析】配方为,由,得.所以函数的最大值为8.www.canpoint.cn010-5881806758818068canpoint@188.com第4页共4页