1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时一、创设情境，引入课题由于北京奥运会开幕式当天气温变化原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日。北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事。下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图。图1想一想，议一议（1）观察图象，你能说出图象的特征吗？（2）随x的增大，y的值有什么变化？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．二、归纳探索，形成概念问题1：分别作出函数y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x2，y＝的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案：(1)函数y＝x＋2在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y＝－x＋2在整个定义域内y随x的增大而减小．
(2)函数y＝x2在[0，＋∞)上y随x的增大而增大，在(－∞，0)上y随x的增大而减小．(3)函数y＝在(0，＋∞)上y随x的增大而减小，在(－∞，0)上y随x的增大而减小．引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识．问题3：如何从解析式的角度说明f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数？预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12＜22，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．(3)任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，因为x12－x22＝(x1＋x2)(x1－x2)＜0，即x12＜x22，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1，x2.想一想（1）在单调区间上增函数的图象是__________,减函数的图象是__________.（2）如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某个单调区间上是增函数还是减函数？如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的，那么它在这个单调区间上就是增函数；如果图象是下降的，那么它在这个单调区间上就是减函数。抽象思维，形成概念一般的，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。（如图1）yf(x1)f(x2)x10x2xyx10x2xf(x1)f(x2)如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（如图2）如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间。
判断题：①已知f(x)＝，因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)是增函数．②若函数f(x)满足f(2)＜f(3)，则函数f(x)在区间[2,3]上为增函数．③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．④因为函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A，B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A∪B上是增(或减)函数．典型例题例1.下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数?例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。例3：证明函数f(x)＝x＋在(，＋∞)上是增函数．二、函数的最值问题
问题1：某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10000m2的矩形新厂址，新厂址的长为xm，则宽为m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y最短？学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y＝2，x＞0的最小值．引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的．那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题．用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题．问题2：画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①f(x)＝－x＋3；②f(x)＝－x＋3，x∈[－1,2]；③f(x)＝x2＋2x＋1；④f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]．形成概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．想一想你能仿照函数最大值的定义，给出函数y＝f(x)的最小值的定义吗？例1求函数y＝在区间[2,6]上的最大值和最小值．活动：先思考或讨论，再到黑板上书写．当学生没有解题思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值．根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值．利用变换法画出函数y＝的图象，只取在区间[2,6]上的部分．观察可得函数的图象是上升的．解：设2≤x1＜x2≤6，则有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.∵2≤x1＜x2≤6，∴x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0.∴f(x1)＞f(x2)，即函数y＝在区间[2,6]上是减函数．
∴当x＝2时，函数y＝在区间[2,6]上取得最大值f(2)＝2；当x＝6时，函数y＝在区间[2,6]上取得最小值f(6)＝.变式训练1．求函数y＝x2－2x(x∈[－3,2])的最大值和最小值．2．函数f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是__________．解：最大值是f(－3)＝15，最小值是f(1)＝－1.解析：(换元法)转化为求二次函数的最小值．设x2＝t，y＝t2＋2t－1(t≥0)，又当t≥0时，函数y＝t2＋2t－1是增函数，则当t＝0时，函数y＝t2＋2t－1(t≥0)取最小值－1.所以函数f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是－1.答案：－1例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1m)解：作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象，如图7所示，图7显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：当t＝－＝1.5时，函数有最大值h＝≈29.即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论．注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．变式训练1．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(答案：D )A．cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．2cm2
2．某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润．分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答．利润＝(售价－进价)×销售量．解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y＝(x－8)[60－(x－10)·10]＝－10[(x－12)2－16]＝－10(x－12)2＋160(10＜x＜16)，当且仅当x＝12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元.思维拓展①判断函数单调性的常用结论②求最大最小值的常用方法③复合函数的单调性问题：求函数y＝的最大值．基本初等函数的最值1．正比例函数：y＝kx(k≠0)在定义域R上不存在最值．在闭区间[a，b]上存在最值，当k＞0时，函数y＝kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k＜0时，函数y＝kx的最大值为f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb.2．反比例函数：y＝(k≠0)在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不存在最值．在闭区间[a，b](ab＞0)上存在最值，当k＞0时，函数y＝的最大值为f(a)＝，最小值为f(b)＝；当k＜0时，函数y＝的最大值为f(b)＝，最小值为f(a)＝.3．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)在定义域R上不存在最值．在闭区间[m，n]上存在最值，当k＞0时，函数y＝kx＋b的最大值为f(n)＝kn＋b，最小值为f(m)＝km＋b；当k＜0时，函数y＝kx＋b的最大值为f(m)＝km＋b，最小值为f(n)＝kn＋b.4．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：
当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最小值f＝，无最大值；当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c在定义域R上有最大值f＝，无最小值．二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在闭区间[p，q]上的最值可能出现以下三种情况：(1)若－＜p，则f(x)在区间[p，q]上是增函数，则f(x)min＝f(p)，f(x)max＝f(q)．(2)若p≤－≤q，则f(x)min＝f，此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：①当p≤－＜时，则f(x)max＝f(q)；②当＝－时，则f(x)max＝f(p)＝f(q)；③当＜－＜q时，则f(x)max＝f(p)．(3)若－≥q，则f(x)在区间[p，q]上是减函数，则f(x)min＝f(q)，f(x)max＝f(p)．由此可见，当－∈[p，q]时，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在闭区间[p，q]上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值，最小值是f；当－[p，q]时，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在闭区间[p，q]上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值，最小值是f(p)和f(q)中的最小值．1.3.2函数的奇偶性一、问题导入请根据函数填写下表并画出下列函数图象:(1)正比例函数f(x)=2x;
x-3-2-10123f(x)(1)反比例函数;x-3-2-10123f(x)(2)二次函数f(x)=x2+1;x-3-2-10123f(x)(3)分段函数f(x)=|x|x-3-2-10123f(x)1、观察（1）（2）两个表格，注意它们函数值的变化，能发现它们有什么共同特征吗？2、再观察函数(1)(2)的图象,你能发现它们有什么共同特征吗？3、图象的这一特征能从表格里的函数值的变化中体现出来吗？学生经过思考后，回答：学生1：（1）f(x)=2x时，f(-x)=2(-x)=-2x,有f(-x)=-f(x)学生2：（2）时，，有f(-x)=-f(x)图象是关于原点对称的进一步研究（3）学生3：(3)f(x)=-2x+1时，f(-x)=-2(-x)+1=2x+1.看不出f(-x)与f(x)有什么关系。图象也没有关于原点对称。师：象（1）（2）这样的函数，我们称它为奇函数；（3）不是奇函数4、观察（3）（4）两个表格，注意它们函数值的变化，能发现它们有什么共同特征吗？5、再观察函数(4)(5)的图象,你能发现它们有什么共同特征吗？6、图象的这一特征能从表格里的函数值的变化中体现出来吗？学生4：（4）f(x)=x2+1时，f(-x)=(-x)2+1=x2+1,有f(-x)=f(x)学生5：（5）f(x)=|x|时，f(-x)=|-x|=|x|,有f(-x)=f(x)图象关于y轴对称。师：象（4）（5）这样的函数，我们称为偶函数。形成概念(1)如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数；奇函数图象关于原点对称。(2)如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数；偶函数图象关于y轴对称。注意：
典型例题例3：讨论函数的奇偶性如何？例4：
例6：
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