函数的单调性与最大(小)值

第二节 函数的单调性与最大(小)值 1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔_______________；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔________________．f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2) 2．单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_________或________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的__________．增函数减函数单调区间 3．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有____________；②存在x0∈I，使得___________.①对于任意的x∈I，都有___________；②存在x0∈I，使得____________.结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M 1．如图2－2－1所示函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)吗？【提示】不是，其单调增区间为(－∞，0]，(0，＋∞)． 2．对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0则能否确定f(x)在D上的单调性？ 1．(人教A版教材习题改编)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则()A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2【答案】C 【解析】结合函数的图象易知选D.【答案】D 3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是________．【解析】由f(x)＝(x－3)ex，得f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)＞0，得x＞2，故f(x)的增区间是(2，＋∞)．【答案】(2，＋∞) 【审题视点】(1)根据复合函数的单调性求解．(2)用定义法或导数法求解． 【尝试解答】(1)由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数．t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)的递减区间为(－∞，－1)． 当a＞0时，f′(x)＜0；当a＜0时，f′(x)＞0.∴当a＞0时，f(x)在(－1，1)上为减函数．当a＜0时，f(x)在(－1，1)上为增函数． 1．解答本题(1)时，应先求定义域，在定义域内求单调区间．2．函数单调性的判定方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法．3．函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则． ∴当x1，x2∈(－∞，－1]时，x1＋x2＜0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故函数在(－∞，－1]上是减函数．当x1，x2∈[1，＋∞)时，x1＋x2＞0，则f(x1)－f(x2)＜0，故函数在[1，＋∞)上是增函数. (2013·惠州调研)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)最大值为()A．4B．5C．6D．7【思路点拨】明确f(x)的意义，数形结合求f(x)的最大值． 【尝试解答】如图所示，在同一坐标系中作出y＝x＋2，y＝2x，y＝10－x(x≥0)的图象．根据f(x)定义知，f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象(如图实线部分)．【答案】C 求函数最值(值域)的常用方法1．利用单调性是求函数最值的最主要方法，函数图象是单调性的最直观体现，函数的最大(小)值是图象的最高(低)点的纵坐标，本题借助图象的直观性求得最大值．2．配方法：若函数是二次函数，常用配方法．3．基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法．4．导数法：当函数较复杂时，一般采用此法．5．换元法：用换元法时一定要注意新变元的范围． 定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12【解析】依题意，当－2≤x≤1时，1⊕x＝1，2⊕x＝2，∴f(x)＝1×x－2＝x－2，且f(x)在[－2，1]上为增函数， 【答案】C 【思路点拨】分a≥0和a＜0两种情况讨论． 1．已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之，已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值和范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．2．不等式m＞f(x)恒成立⇔m＞f(x)max，m＜f(x)恒成立⇔m＜f(x)min. 此时实数a，b是方程x2－x＋1＝0的两根，但方程x2－x＋1＝0无实根，因此不存在满足条件的实数a，b. 1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．2．开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．函数单调性的判定方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)利用图象与性质．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性． 函数的单调性与最值是高考考查的重点内容，主要涉及单调性的判断，求函数的单调区间与最值，函数单调性的应用；考查数形结合、转化与化归等数学思想，其中利用函数的单调性解不等式应引起高度重视． (12分)(2013·深圳调研)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.【规范解答】(1)设x1＜x2，∴x2－x1＞0，当x＞0时，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.···········2分f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，·············4分∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0⇒f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为增函数.·····················6分规范解答之一 利用函数的单调性解不等式 (2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，······8分f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，··········································10分∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5＜1⇒－3＜a＜2，即a∈(－3，2).·························12分 【解题程序】第一步：设x1＜x2得x2－x1＞0，从而f(x2－x1)＞1；第二步：根据x2＝(x2－x1)＋x1证明f(x2)－f(x1)＞0，从而证明单调性；第三步：求f(1)、f(2)；第四步：把不等式转化为f(M)＜f(N)的形式；第五步：根据单调性去掉“f”，解不等式． (2)求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(M)＜f(N)的形式，然后再根据函数f(x)的单调性去掉“f”，此时应注意M、N应在定义域内取值． 【答案】A 【答案】3 课后作业（六）