单调性与最大(小)值教学设计

附件：教学设计方案模板教学设计方案课题名称：单调性与最大（小）值姓名：工作单位：学科年级：高一数学教材版本：人教A版一、教学内容分析在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高。给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.二、教学目标1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图像的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.三、学习者特征分析1.教学有利因素 14 学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素 本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍．四、教学过程（一）研探新知：（1）增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：①根据、的图象进行讨论：随的增大，函数值怎样变化？当时，与的大小关系怎样？②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？③定义增函数：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是增函数（increasingfunction）④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→区间局部性、取值任意性⑤定义：如果函数在某个区间上是增函数或减函数，就说在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫的单调区间。⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？的单调区间怎样？③练习（口答）：如图，定义在上的，根据图像说出单调区间及单调性。(2)增函数、减函数的证明：①出示例1：指出函数、的单调区间及单调性，并给出证明。14 （由图像指出单调性→示例的证明格式→练习完成。）②出示例2：物理学中的玻意耳定律（为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积增大时，压强如何变化？试用单调性定义证明.（学生口答→演练证明）③小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。判断单调性的步骤：设给定区间，且；→计算至最简→判断差的符号→下结论。(3)函数最大（小）值：①指出下列函数图象的最高点或最低点，→能体现函数值有什么特征？，；，②定义最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：对于任意的，都有；存在，使得.那么，称是函数的最大值（MaximumValue）③探讨：仿照最大值定义，给出最小值（MinimumValue）的定义．→一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法）→试举例说明方法.设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会证明的一般方法。（二）类型题探究题型一求函数的单调区间去绝对值符号由定义法或图象法结论例1求函数的单调区间.【思维导图】【解答关键】去掉绝对值号，化为分段函数，并画出函数的图象，借助图象可以直观地判断出函数的单调区间.，其图象如右图所示：14 由函数的图象可知，函数的单调增区间是，；单调减区间是，.【技巧感悟】本题中所给出的函数式中含有绝对值，可以采用零点分段法去绝对值，将函数转化为分段函数，再画出函数的图象，通过函数的图象观察函数的单调性.【误区警示】该函数的单调递增区间是由两个区间组成，注意不能写成下列形式：，或【思想方法】数形结合始终是研究函数性质及其应用的重要思想，可以利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数式，然后画出图象，最后根据函数的定义域与图象的位置、状态确定函数的单调区间.另外，研究函数的单调性的方法还有定义法以及利用已知函数的单调性进行判断.【活学活用】1.（1）(广东执信中学09-10高一上学期期末)函数和的递增区间依次是（）A．，B．，C．，D．，(2)写出函数的单调区间.1．（1）C解析如图(2)解析：先作出函数的图象，由于绝对值的作用，把轴下方的图象沿轴对折到轴的上方，所14 得函数的图像如右图所示：由函数的图象可知，函数在、上是减函数，在、上是增函数．题型二判断并证明函数的单调性例2证明：函数在区间上单调递减，在上单调递增.作差任取得出结论代入化简判断【思维导图】【解答关键】用定义法证明函数的单调性，主要是四个步骤，证明的关键是进行变形，尽量变成几个最简单因式的乘积的形式.证明：任取且，于是，.由于且，所以，，则，，故，即，故，由减函数定义，得在区间单调递减.同理可证：在区间上单调递增.【知识归纳】函数在区间上是减函数，在上是增函数.这一结论在求此类函数的值域或最值时非常方便，但解答题需要先证明结论后才能用.【技巧感悟】在“作差变形”的过程中，为了确定符号，一般是分解出含有14 的因式，再将剩下的因式通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，化为几个因式的积、商，或化为几个非负实数的和的形式，然后判断符号.【误区警示】用定义证明函数的单调性时要注意详细写出解题步骤，如果省略必要的步骤，将会导致错误.另外，有的同学没有化简彻底，就开始判断符号，这也是容易出错的.“题要一步一步地解”，在数学证明题中显得尤为重要.【活学活用】2.（2009湖北高一测试）下列函数中，在上为减函数的是（）A.B.C.D.2．D解析：注意到函数是一个以为顶点的开口向下的抛物线，是一个以为顶点，开口向上的抛物线，它们在上都不是单调减函数，而的图象是出现在第二和第四象限的两支曲线，在上单调递增，所以正确选项是D．题型三单调性的应用例3已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.【思维导图】判断函数解析式配方图象的对称轴对称轴与所给区间的关系【解答关键】先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解.【规范解答】，故此二次函数的对称轴为，所以函数的单调递减区间为，又因为在上是减函数，所以对称轴必须在直线的右侧或与其重合.故，解得.【技巧感悟】函数在是为单调递增(递减)函数与函数的单调递增(递减)区间为有着本质差异.可理解如下：(1)函数在是为单调递增(递减)函数，说明除此区间之外，在其它区间上也可能单调递增(递减)函数.(2)函数的单调递增(递减)区间为，说明函数除此区间外，在其它区间上不再有单调递增(递减)区间.【活学活用】3.(1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为；14 （2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为.3.解析：（1）由二次函数的图象可知，该二次函数的对称轴是，即，即．（2）由题意可知，二次函数的对称轴是，若在上是增函数，则需满足，即．(三）小结：注：教师根据本班学生情况及其课堂教学灵活安排。目标检测一、选择题1．若函数是上的减函数，那么()A．B．C．D．无法确定1．B解析：因为函数是上的减函数，所以对任意，应有，即，又，所以．2．下列函数中，在区间上为增函数的是()A．B．C．D．2．D解析：画出图象可得，在区间上，，，都是递减函数．3．.(河南宝丰一高2009-2010月考)定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有成立，则必有（）A．函数是先增加后减少B．函数是先减少后增加C．在上是增函数D．在上是减函数14 3．C解析：由于，所以，得当时，；同理当时，.故在上是增函数．4．(河南新乡2009-2010学年高一上学期期末)已知二次函数在区间上单调函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．4．A解析：的对称轴，若在区间上是增函数，则；若在区间上是减函数，则．5．.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是()A．B．C．D．5．A解析：数形结合与的对称轴，则，得，．二、填空题6.定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的集合.6.解析：通过函数单调性的可逆转化为自变量的关系14 即 三、解答题7．已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围．7．解析：∵时，，∴函数是减函数，∴由得：，解得，∴的取值范围是．8．判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．8．证明：函数是增函数.证明如下：设，则，因为，所以，，则，即，故函数是增函数．高考能力演练9．（2009福建理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当的是()A．=B．=C．D．14 9．A解析：依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确.高考能力演练10.作出函数f（x）=+的图象，并指出函数f（x）的单调区间.10.由于所给的函数是两个被开方数和的形式，而被开方数恰能写成完全平方的形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的形式，再作图写出单调区间.原函数可化为－2x，x≤－1，2，－1＜x＜1，2x，x≥1.f（x）=+=|x+1|+|x－1|=作出函数的图象：所以函数的递减区间是（－∞，－1］，函数的递增区间是［1，+∞）.11.已知点p(t,y)在函数的图象上，且有（1）求证：；（2）求证：在（－1，+∞）上单调递增；（3）求证：11.（1），（2）由设，则时，单调递增.14 （3）在时单调递增，五、教学策略选择与信息技术融合的设计教师活动预设学生活动设计意图问题1：①根据、的图象进行讨论：随的增大，函数值怎样变化？当时，与的大小关系怎样？学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题时会发现问题，从而引起认知冲突。提出问题，引发学生的认识冲突，说明函数单调性的必要性问题2：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？回答问题回顾已有知识问题3：定义增函数：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是增函数（increasingfunction）回答问题老师归纳，帮助学生在理解的基础上掌握概念问题4：探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→区间局部性、取值任意性回答，讨论交流，补充14 提出问题，引发学生的认识冲突，说明函数单调性的必要性问题5：讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？y＝x的单调区间怎样？回答，讨论交流，补充提出问题，引发学生的认识冲突，说明函数单调性的必要性问题6：增函数、减函数的证明：①出示例1：指出函数f(x)＝－3x＋2、f(x)＝的单调区间及单调性，并给出证明。②出示例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.③判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且x