函数的单调性与最大(小)值要点梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2基础知识自主学习
定义当x10在(-1,+∞)上恒成立,则f(x)在(-1,+∞)上为增函数.对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解.可导函数则可以利用导数解之.探究提高
知能迁移1试讨论函数x∈(-1,1)的单调性(其中a≠0).解方法一根据单调性的定义求解.设-1x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.
题型四函数单调性与不等式【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)1.2分f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.5分∴f(x2)>f(x1).即f(x)是R上的增函数.6分
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,8分∴原不等式可化为f(3m2-m-2)