新人教A版必修1 高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值 课件

1．3.1单调性与最大(小)值(第2课时 函数的最大值、最小值)2021/7/311研修班 2021/7/312研修班 1．函数的最大值(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于，都有f(x)≤M，②存在，使f(x0)＝M.那么称M是函数y＝f(x)的最大值．2．函数的最小值(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于，都有f(x)≥M，②存在，使f(x0)＝M.(1)那么称M是函数y＝f(x)的最小值．任意x∈I任意x∈Ix0∈Ix0∈I2021/7/313研修班 1．函数最大值、最小值的几何意义是什么？【提示】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．2021/7/314研修班 2．求函数的最大(小)值应注意的问题是什么？【提示】(1)对于任意的x属于给定区间，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对给定区间的每一个值都必须满足不等式．(2)最大值M必须是一个函数值，即它是值域中的一个元素．例如函数f(x)＝－x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1，但f(x)的最大值不是1，因为1不属于f(x)的值域．2021/7/315研修班 如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．2021/7/316研修班 【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①所给函数解析式未知；②函数图象已知．解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意义求解．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2]，[5,7]．单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．2021/7/317研修班 由函数图象找出函数的单调区间是求函数单调区间和最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单且图象易作出的函数求最值较常用．2021/7/318研修班 其图象如下图所示，显然函数值y≥3，所以函数有最小值3，无最大值．2021/7/319研修班 2021/7/3110研修班 2021/7/3111研修班 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．2021/7/3112研修班 2.本例中，函数定义域“x∈[2,3]”改为x∈[－1,1)∪(1,3]，求函数值域．2021/7/3113研修班 2021/7/3114研修班 求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的最大值和最小值．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①所给函数为二次函数；②在区间[－2,2]上求最值．解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调性，再求最值．2021/7/3115研修班 【解析】f(x)＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5，其对称轴为x＝3，开口向上，∴f(x)在[－2,2]上为减函数，∴f(x)min＝f(2)＝－4，f(x)max＝f(－2)＝20.在求二次函数的最值时，要注意定义域．定义域若是区间[m，n]，则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看对称轴是在区间[m，n]内还是在区间左边或右边，在区间的某一边时应该利用函数单调性求解．2021/7/3116研修班 3.本例中函数解析式改为“y＝x2－2ax＋1”(a>0)，求函数的最值．【解析】(1)当0