1.3函数的基本性质
1.3.1单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
1.在回顾初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的图象后,理解函数的单调性的概念.2.通过取值、描点分析函数值的变化规律,体会函数值的变化趋势,获得形成函数单调性这一概念的经验,探索函数单调性的实质.
研习新知
新知视界1.增函数(1)定义:设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x10.又∵x1,x2∈(1,+∞),∴x2>x1>1.∴x1+x2>2.∴x1+x2-2>0.∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).故f(x)=x2-2x在(1,+∞)上是增函数.
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由此可知:y=f(x)的单调增区间是(-∞,-1],[0,1].y=f(x)的单调减区间是(-1,0),(1,+∞).[点评]利用函数图象确定函数的单调区间,具体做法是:先化简函数式,然后再画出它的草图,最后根据函数定义域与草图的位置、状态,确定函数的单调区间.当单调递增(或递减)区间由几个区间组成时,一般情况下不能取它们的并集,应用“和”或“,”连接.
解:(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.先作出f(x)的图象,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图象翻到x轴上方,就得到y=|x2+2x-3|的图象,如图7所示.由图象易得:递增区间是[-3,-1]和[1,+∞).递减区间是(-∞,-3]和[-1,1].
类型三 根据单调性求参数取值范围[例3]函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,则()A.a∈(-∞,1]B.a∈[2,+∞)C.a∈[1,2]D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞)
[解析]本题是关于一个二次函数的单调区间问题.二次函数的单调区间取决于其对称轴,为此需先确定函数的对称轴.不难得到函数的对称轴为x=a,函数图象开口向上,如图8.
要使函数在区间[1,2]上单调,只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时函数在区间[1,2]上单调递增,当a≥2时函数在区间[1,2]上单调递减),从而a∈(-∞,1]∪[2,+∞),故选D.[答案]D
变式体验3已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围.分析:由题意可知是(-∞,4]应该是该函数的递减区间的子区间,从而可通过比较对称轴与4的大小来求得.
解:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,∴此二次函数的对称轴为x=1-a,∴f(x)的单调减区间为(-∞,1-a].∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.∴1-a≥4,解得a≤-3.
类型四 函数单调性的应用[例4]已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)