函数的单调性及最大(小)值

要点梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f（x）的定义域为A,如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2,当x10时，f(x)为__函数;当f′(x)0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 方法二求导数得∵a>1,∴当x>-1时，axlna>0,f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法三∵a>1,∴y=ax为增函数,又在(-1,+∞)上也是增函数.∴在(-1,+∞)上为增函数. 跟踪练习1(2010·淮安模拟)证明:f(x)=x2-2x在区间(1,+∞)上是增函数.证明方法一设x1,x2是区间(1,+∞)上的任意两个值,且x1x1,∴x2-x1>0. 又∵x1、x2∈(1,+∞),∴x2>x1>1,即有x1+x2>2,∴x1+x2-2>0.∴f(x2)-f(x1)>0,即有f(x2)>f(x1).故f(x)=x2-2x在(1,+∞)上是增函数.方法二利用导数f′(x)=2x-2=2(x-1).∵x>1,∴f′(x)>0.∴f(x)在(1,+∞)上为增函数. 【例2】求函数f(x)=loga(2x2-5x+3)的单调区间.将函数看作y=logau,u=2x2-5x+3两函数的复合函数,利用复合函数的单调性去求,注意对底数a分类讨论.解由2x2-5x+3>0,解得x∴函数的定义域是{x|x}.令u(x)=2x2-5x+3,由二次函数的图象可知u(x)在(-∞,1)上是减函数,在(,+∞)上是增函数;分析 又当a>1时,f(u)=logau是增函数;当09,∴10,∴a的取值范围是11,∴函数f(x)的单调减区间为定时检测 2.(2009·湖南改编)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=取函数f(x)=2-|x|,当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为________.解析由f(x)=2-|x|≤得-|x|≤-1,∴|x|≥1.∴x≥1或x≤-1.∴fK(x)=当x∈(1,+∞)时,fK(x)=2-x=,在(1,+∞)上为减函数.当x∈(-∞,-1)时,fK(x)=2x,在(-∞,-1)上为增函数.(-∞,-1) 3.(2009·江苏扬州模拟)已知f(x)是R上的减函数，则满足f()>f(1)的x的取值范围为____________.________.解析（-∞,0）∪(1,+∞) 4.(2010·徐州调研)若f(x)在(0,+∞)上是减函数，则f(a2-a+1)与f()的大小关系是______________.解析 5.（2010·山东临沂模拟）若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间［1,2］上都是减函数,则a的取值范围是_______.解析由f(x)=-x2+2ax得对称轴为x=a,在［1,2］上是减函数,所以a≤1,又由g(x)=在［1,2］上是减函数,所以a>0,综合得a的取值范围为(0,1］.(0,1］ 6.(2009·山东烟台调研)关于下列命题:①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0},则它的值域是{y|y≤1};②若函数y=的定义域是{x|x>2},则它的值域是{y|y≤};③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2};④若函数y=log2x的值域是{y|y≤3},则它的定义域是{x|02,y=∈(0,);③中,y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，但它的定义域不一定是{x|-2≤x≤2};④中,y=log2x≤3,∴00且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.(1)证明任设x10.∵f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1),故f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. (2)解∵f(1)=1,∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2).又f[log2(x2-x-2)]