§22函数的单调性与最大（小）值（教师）

§2.2函数的单调性与最大（小）值基础自测1.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，则下列对f(x)=0的根说法不正确的是（填序号）.①有且只有一个②有2个③至多有一个 ④没有根答案①②2.已知f（x）是R上的增函数，若令F（x）=f（1-x）-f（1+x），则F（x）是R上的函数（用“增”、“减”填空）.答案减3.若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间（-∞，1］上是减函数，则a的取值范围是.答案［1，3］4.（2009·徐州六县一区联考）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0，y>0满足f(xy)=f(x)+f(y)，则不等式f(x+6)+f(x)1).证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x10,>1且a>0,∴a又∵x1+1>0,x2+1>0,∴>0,于是f(x2)-f(x1)=a+>0,故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法二f(x)=ax+1-(a>1),求导数得f′(x)=axlna+,∵a>1,∴当x>-1时，axlna>0,>0,f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法三∵a>1,∴y=ax为增函数，又y=，在（-1，+∞）上也是增函数.∴y=ax+在（-1，+∞）上为增函数.例2判断函数f(x)=在定义域上的单调性.29 解函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},则f(x)=,可分解成两个简单函数.f(x)==x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.∴f（x）=在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，为减函数，∴f(x)=在（-∞,-1］上为减函数.例3求下列函数的最值与值域：（1）y=4-;(2)y=2x-;(3)y=x+;(4)y=.解（1）由3+2x-x2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.∴t∈［0，4］，∈［0，2］，从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为［2，4］.（2）方法一令=t(t≥0),则x=.∴y=1-t2-t=-（t+2+.∵二次函数对称轴为t=-,∴在［0，+∞）上y=-(t+2+是减函数，故ymax=-(0+2+=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.方法二∵y=2x与y=-均为定义域上的增函数，∴y=2x-是定义域为{x|x≤}上的增函数，故ymax=2×=1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］.(3)方法一函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x>0时,即可知x0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x