新人教A版必修1 高中数学 1.3.2 奇偶性 教案

1.3.2奇偶性知识回顾1.轴对称图形：如一个图形上的任意一点关于某一条直线的对称点仍是这个图形上的点,就称图形关于该直线成轴对称图形，这条直线称作轴对称图形的对称轴。中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点,就称图形关于该点成中心对称图形，这个点称作中心对称图形的对称中心。2.描点法作出下列函数的图象：(1)i(x)=x2与f2(x)0x|；13(2)gi(x)=2x与g2(x)=-x；4观察上述图象，不难发现(1)组图象关于y轴成轴对称，(2)组图象关于坐标原点成中心对称。教材内容全解要点一奇函数与偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数；如果都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。理解：1.从图象角度，图象关于y轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数；从表格角度，自变量任取一对相反数时，相应函数值都相等时是偶函数，函数值互为相反数时是奇函数。2.函数y=f(x)是奇函数或偶函数的前提条件是：定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。3.定义法证明函数奇偶性：f(x)是奇函数u任取定义域内x,-x,都有f(-x)=-f(x)；f(x)是偶函数u任取定义域内x,-x,都有f(-x)=f(x).4.函数根据奇偶性分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数。要点二利用定义判断函数奇偶性的一般步骤1.求函数f(x)的定义域2.判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若关于原点对称则进行下一步3.结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式4.求f(-x)5.根据f(-x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性。判断函数奇偶性时要注意： (1){0}是关于原点对称的，如函数f(x)=JX+J：X,定义域是{0},f(x)=0，所以该函数既是奇函数又是偶函数。(2)有时也根据下面的式子判断：对于定义域内的任意一个x,若都有f(x)-f(—x)=0成立，则f(x)是偶函数；若有f(x)+f(-x)=0成立，则函数f(x)是奇函数。(3)有时由_flzx_=±1(f(x)#0)来判断奇偶性。f(x)(4)根据常见函数y=kx,y=3,y=x2,y=|x|等的奇偶性，利用k奇士奇=奇，偶±偶=偶，奇•奇=偶，偶•偶=偶,奇•偶=奇进行判断。1(5)函数f(x)与(f(x)¥0)的奇偶性相同f(x)(6)既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)=0,xwM,其中M关于原点对称。要点三奇(偶)函数的性质1.若f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|)2.若奇函数在原点处有定义，则有f(0)=0(有时可以用此结论来否定一个函数为奇函数，或求参数的值。)3.既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,xwA,定义域a是关于原点对称的非空数集。4.一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间口处］和1-0-2］上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)关于原点对称的两个区间13力］和匚。-2】上具有相反的单调性。典型例题解析考点一判断函数的奇偶性1.利用定义判断函数的奇偶性例题：判定f(x)=4工土1的奇偶性。1x2x1解：:f(x)的定义域为R,关于原点对称，(定义域优先原则)当x=0时，f(x)=0，二图象过原点 当x#0时,ftx)f(x)(1x2)-(x1)2(1x2)-(x-1)2f(-x)=-f(x)又f(0)=0」f(x)为奇函数2.含参数的函数的奇偶性判断例题：判断f(x)qx+a|—|x—a|(awR)的奇偶性。解：yxwR：定义域关于原点对称.当a=0时，f(x)=|x|-|x|=0,，f(x)既是奇函数，又是偶函数.当a00时，:f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x),二f(x)是奇函数.综上，当a=0时，函数f(x)既是奇函数，又是偶函数；当a#0时，函数f(x)是奇函数。3.分段函数的奇偶性判断例题:f(x)1,x>0=4-1,x0时，f(x)=x3+x+1，求f(x)的解析式.解：设x0,f(-x)=(—x)3—x+1,;f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x)一一33_f(x)=-f(-x)=-(-x)-(-x)-1=xx-1,(x：：0)又f(x)是奇函数二f(0)=0,x3x1,x0二f(x)=«0,x=03,“一x十x—1,x