SUN1.3.2 函数的奇偶性

☆预习案☆课题：1.3.2函数的奇偶性课型：新授使用：时间：月日学习札记◇基础知识梳理◇1.函数奇偶性定义：（1）.偶函数：一般的，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.（2）2.奇函数：一般的，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.2.函数奇偶性的图象特征：（1）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。(2)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数。3.奇偶性和单调性：奇函数在[a,b]与[-b,-a]上单调性相同,偶函数在[a,b]与[-b,-a]单调性相反.4.奇函数和偶函数的性质：奇函数f(x)如果在x=0处有意义，则f(0)=0；若f(x)是偶函数，则f(x)=f(|x|).◇自我测试◇（选3填空2解答2）1．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是关于y轴对称的点是；关于x轴对称的点是．2．下列函数中，是奇函数的是（C）（A）（B）（C）（D）3．下列函数中，是偶函数的是（C）（A）（B）（C）（D）4．已知函数，下列说法正确的是（D）（A）函数图象关于x轴对称（B）函数图象关于y=x轴对称（C）函数图象关于原点对称（D）函数图象关于y轴对称 5．已知函数，下列说法正确的是（C ）（A）函数图象关于x轴对称（B）函数图象关于y=x轴对称（C）函数图象关于原点对称（D）函数图象关于y轴对称6．判断下列函数的奇偶性.（1）；（2）；（3）．解：（1）因为函数的定义域是，关于原点对称，且对定义域内的任意自变量都有，所以函数在其定义域内是偶函数。（2）因为函数的定义域是，关于原点对称，对定义域内的任意自变量都有，不等于也不等于，所以函数为非奇非偶函数。（也可以选用特殊值法。）（3）因为函数的定义域是，关于原点对称，且对定义域内的任意自变量都有，所以函数在其定义域内是奇函数。7．已知函数．（1）若函数为奇函数，求实数a，b，c满足的条件；（2）若函数为偶函数，求实数a，b，c满足的条件．解：（1）因为函数是奇函数，所以对于定义域内的每一个都有，即所以，为任意实数。（2）因为函数为偶函数，所以对于定义域内的每一个都有 即所以为任意实数。◇自学感悟◇☆讲学案☆课题：1.3.2函数的奇偶性课型：新授使用：时间：月日学习札记〖学习目标及要求〗：1、学习目标：知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．2、重点难点：函数的奇偶性及其几何意义，判断函数的奇偶性的方法与格式3、体现的思想方法：数形结合〖讲学过程〗：一、预习反馈:二、探究精讲:例1判断下列函数的奇偶性:感悟归纳一： （1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）f(x)=x+；（4）f(x)=（5）f(x)=x2,x∈［-1,2］;（6）f(x)=；.（7）f（x）=+；活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).解：（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，所以函数f(x)=x4是偶函数.（2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x4是奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)，所以函数f(x)=x+是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)===f(x)，所以函数f(x)=是偶函数.（5）因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x2,x∈［-1,2］既不是奇函数又不是偶函数（6）因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，并不关于原点对称,函数f(x)=既不是奇函数又不是偶函数.（7）∵x2－4≥0且4－x2≥0，∴x＝±2，即f（x）的定义域是{－2，2}.∵f（2）＝0，f（－2）＝0,∴f（2）＝f（－2），f（2）＝－f（2）.∴f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x）.∴f（x）既是奇函数也是偶函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.感悟归纳二： 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(-x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.例22006上海春季高考6：已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=_______.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.分析:当x∈(0,+∞)时，则-x0时，f(x)=x2+，求f(x).解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0；当x0，由于函数f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x)=-［(-x)2+］=-x2+，综上所得，f(x)=例3已知函数f(x)的定义域是除零以外的一切实数，对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)=1，（1）求证：f(x)是偶函数；（2）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；（3）试比较f()与f()的大小.活动：（1）转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x)；（2）利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；（3 ）利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f()和f()转化为同一个单调区间上的函数值.解：（1）令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x1=x2=-1，得f(1)=f［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0.∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.（2）设x2>x1>0，则f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().∵x2>x1>0，∴>1.∴f()>0，即f(x2)-f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.（3）由（1）知f(x)是偶函数，则有f()＝f().由（2）知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f()>f().∴f()>f().点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.〖基础达标〗：（选4填空4解答4）1．2006山东高考理6：已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为(B)A.-1B.0C.1D.22．2006辽宁高考理2：设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(D)A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数3．2006上海春季高考6：已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=4．2007上海春季高考5：设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=__-3___.5．f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a－1，2a］，则a=b=__0__.6．设，已知,求的值。解：令，则函数为奇函数，所以有即，所以= 7．已知是奇函数，是偶函数，且，求。解：因为，所以，又因为是奇函数，是偶函数，所以，所以，8．已知是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么在[-7,-3]上是（增）函数，且最小值是-4。9．2007广东中山高三期末统考，理19已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).（1）求f(1)、f(-1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由.解：（1）由题意，令得，，再令，得，（2）由题意，令，则，又因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，所以原函数是奇函数。〖课堂感悟〗：☆创新作业☆课题：1.3.2函数的奇偶性（小题7解答4）班级姓名1．（2008年高考全国卷Ⅱ）函数的图像关于（C）A.y轴对称B.直线对称C.坐标原点对称D.直线对称2.（2008年高考辽宁卷）若函数为偶函数，则a等于（C）A.-2B.-1C.1D.23.2008年高考辽宁卷）设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（C）A.-3B.3C.-8D.84.已知的定义域为且}且满足，则的奇偶性为奇函数 5.函数在R上是奇函数，则=06.已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的,都满足（1）求的值；（2）判断的奇偶性，并证明你的结论。解：（1）令则，令，则（2）令，则，360，得，所以，又因为函数的定义域为全体实数，所以函数为奇函数。7．已知函数是定义在上的偶函数，的部分图象如图所示，求不等式的解集．解：由题意可得，要使，只需或者由函数在上是偶函数，所以当时，，所以原不等式的解集是8．已知函数．（1）求证函数是偶函数；（2）试画出函数的图象；（3）根据函数图象，试写出函数的单调区间．9．若函数是奇函数，当时，，试求函数在时的解析式．解：当时，则，，又因为函数是奇函数，所以10．已知函数是定义在上奇函数，且在单调递增．若，求实数a的取值范围． 解：因为函数是定义在上奇函数，，所以对任意的，有又函数在单调递增，所以由，得，即，所以满足条件，解得，，所求实数的取值范围是11．已知函数是定义域上的偶函数，若函数在单调增，试判断函数在上的单调性，并证明之．解：由题意得，函数在上是单调递减。证明：任取，且，则，又因为函数在单调增，所以，由函数在定义域上的偶函数，所以所以即函数在上单调递减.☆学习心得☆