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资料简介
函数奇偶性练习  一、选择题1.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx(  )  A.奇函数    B.偶函数   C.既奇又偶函数    D.非奇非偶函数2.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则(  )   A.,b=0    B.a=-1,b=0  C.a=1,b=0     D.a=3,b=03.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式是(  )   A.y=x(x-2)   B.y=x(|x|-1) C.y=|x|(x-2)  D.y=x(|x|-2)4.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)等于(  )  A.-26    B.-18    C.-10    D.105.函数是(  )  A.偶函数   B.奇函数    C.非奇非偶函数    D.既是奇函数又是偶函数6.若,g(x)都是奇函数,在(0,+∞)上有最大值5,则f(x)在(-∞,0)上有(  )    A.最小值-5    B.最大值-5   C.最小值-1      D.最大值-3二、填空题7.函数的奇偶性为________(填奇函数或偶函数) .8.若y=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则m=_________.9.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若,则f(x)的解析式为_______.10.已知函数f(x)为偶函数,且其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和为________.三、解答题11.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围. 12.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)(xR,yR),且f(0)≠0,试证f(x)是偶函数.13.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+2x2—1,求f(x)在R上的表达式.14.f(x)是定义在(-∞,-5][5,+∞)上的奇函数,且f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明.  15.设函数y=f(x)(xR且x≠0)对任意非零实数x1、x2满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),求证f(x)是偶函数. 函数的奇偶性练习参考答案1. 解析:f(x)=ax2+bx+c为偶函数,为奇函数,  ∴g(x)=ax3+bx2+cx=f(x)·满足奇函数的条件.  答案:A 2.解析:由f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数,得b=0.  又定义域为[a-1,2a],∴a-1=2a,∴.故选A.3.解析:由x≥0时,f(x)=x2-2x,f(x)为奇函数,  ∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x=x(-x-2).  ∴即f(x)=x(|x|-2)  答案:D4.解析:f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数,  f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)=-26.  答案:A5.解析:此题直接证明较烦,可用等价形式f(-x)+f(x)=0.  答案:B6.解析:、g(x)为奇函数,∴为奇函数.  又f(x)在(0,+∞)上有最大值5,  ∴f(x)-2有最大值3.  ∴f(x)-2在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f(x)在(-∞,0)上有最小值-1.  答案:C7.答案:奇函数8.答案:0解析:因为函数y=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,  ∴f(-x)=f(x),即(m-1)(-x)2+2m(-x)+3=(m—1)x2+2mx+3,整理,得m=0.9.解析:由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,  可得,联立,∴.  答案:10.答案:011.答案:12.证明:令x=y=0,有f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),又f(0)≠0,∴可证f(0)=1.令x=0,  ∴f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)f(-y)=f(y),故f(x)为偶函数.13.解析:本题主要是培养学生理解概念的能力.  f(x)=x3+2x2-1.因f(x)为奇函数,∴f(0)=0.   当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1,  ∴f(x)=x3-2x2+1.  因此,  点评:本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力.14.解析:任取x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥-5.  因f(x)在[5,+∞]上单调递减,所以f(-x1)<f(-x2)f(x1)<-f(x2)f(x1)>f(x2),即单调减函数.  点评:此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性,并及时转化.15.解析:由x1,x2R且不为0的任意性,令x1=x2=1代入可证,  f(1)=2f(1),∴f(1)=0.  又令x1=x2=-1,  ∴f[-1×(-1)]=2f(1)=0,  ∴(-1)=0.又令x1=-1,x2=x,  ∴f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x),即f(x)为偶函数.点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x1=x2=1,x1=x2=-1或x1=x2=0等,然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可.

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