必修一1.3.2函数的奇偶性

1.3.2函数的奇偶性 引例：问题１：画出函数f(x)=x2的图象，并求f(-2),f(2),f(-3),f(3)值．解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=２２＝4f(-３)=(-３)2=９f(３)=３2=９f(-2)=f(2)f(-３)=f(３)xyo－３－２２３问题２：对于定义域内的任意x是否存在一个-x，使f(x)=x2满足f(-x)=f(x)结论呢？思考:通过练习,同学们发现了什么规律? 函数y=f(x)的图象关于y轴对称1、对定义域中的每一个x，-x是也在定义域内；2、都有f(x)=f(-x)偶函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（evenfunction）。 解:g(-2)=(-2)3=-8g(2)=8g(-1)=(-1)3=-1g(1)=1g(-x)=(-x)3=-x3思考:通过练习,同学们发现了什么规律?g(-2)=-g(2)g(-1)=-g(1)g(-x)=-g(x)-xg(-x)xg(x)xyo问题３.已知g(x)=x3,画出它的图象,并求出g(-2),g(2),g(-1),g(1)及g(-x) 函数y=f(x)的图象关于原点对称1、对定义域中的每一个x，-x是也在定义域内；2、都有f(-x)=-f(x)奇函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)。 奇函数的图象(如y=x3)偶函数的图象(如y=x2)yxoaaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-ayxoaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-a(-a,-f(a))(-a,f(a))偶函数的图象关于y轴对称.反之,若一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.奇函数的图象关于原点对称.反之,若一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数. xyOxyO1-1-2 ☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1).函数具有奇偶性的前提条件是：定义域关于原点对称。[a,b][-b,-a]xo(2)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。 练习1.说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4________④f(x)=x-1__________②f(x)=x________奇函数⑤f(x)=x-2__________偶函数③f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________说明：对于形如f(x)=xn的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。 例1：判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R即f(-x)=f(x) ⑴先求定义域，看是否关于原点对称;☆说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:⑵再判断f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。 练习2.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x-1x(3)f(x)=5(2)f(x)=x2+2，x∈[-4,4)，若x∈（-4,4）呢？(4)f(x)=0非奇非偶偶函数奇函数偶函数非奇非偶既奇又偶 oyx例2已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象。解：画法略 例3、研究函数的性质并作出它的图像解：已知函数的定义域是x≠0的实数集，即｛x∈R|x≠0｝x…-3-2-1…0…123…y…14…不存在…41…由图像可以看出这个函数的单调区间是什么？ 练习3已知y=f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+2x-1，求函数的表达式。 例4设f(x)是奇函数，而且在（0，+∞）上是减函数，证f(x)在（－∞，0）上是减函数。例5设f(x)是偶函数，而且在[a,b]上是减函数，证f(x)在[-b,-a]上是增函数。奇同偶异 本课小结:1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。2.两个性质:一个函数为奇函数它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称。