1.3.2奇偶性

1.3.2奇偶性 思考：轴对称图形，中心对称图形是如何定义的？轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转，能够与另一图形重合） yxyo提问：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值如何?oxx-3-2-10123x-3-2-10123这两个函数图象都关于y轴对称.当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相同. 偶函数的特征:①定义域内任意x，都有f(-x)=f(x)，或是f(x)—f(-x)=0。②图像特征:关于y轴对称.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.1.偶函数的概念课本P33 再观察下列函数的图象，它们又有什么样的特点规律呢？yxOx0x-3-2-10123x-3-2-1123这两个函数图象都关于原点对称.当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相反. 奇函数的特征:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.2.奇函数的概念①定义域内任意x，都有f(-x)=—f(x)，或是f(x)+f(-x)=0。②图像特征:关于原点对称. yox结论:既奇又偶函数需同时满足两个条件：①定义域关于原点对称②函数解析式可化简为f(x)=0。xyo如图，函数解析式为__________,图象具有什么对称性？f(x)=0图象既关于y轴对称，又关于原点对称。3.既是奇函数又是偶函数 yox一、总结:函数的奇偶性可分为4类：①偶函数②奇函数③既奇又偶函数④非奇非偶函数xyo图象具有什么对称性？图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称。4.非奇非偶函数(不具有奇偶性)（-2,1）（2,1） (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。[a,b][-b,-a]xo二、对于奇、偶函数定义的几点说明:(2)函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是函数的局部性质。(3)若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则必有f(0)=0成立。重要考点(4)奇函数在关于原点对称的区间内图象有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性. 例1.根据下列函数图象,判断函数的奇偶性.yxyxyx-12yx-11偶奇非奇非偶奇图象法三、判断函数奇偶性的方法：图像法和定义法 例2.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)∴f(x)为奇函数．∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数．函数定义域为R．解:函数定义域为R．=f(x)定义法 四、定义法判断函数奇偶性的步骤:(1)先求函数定义域,看定义域是否关于原点对称;(2)求f(-x)，找f(x)与f(-x)的关系;若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.(3)作出结论：f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或既是奇函数又是偶函数。 课本36页练习1结论：一般的，对于形如f(x)=xn的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。 练习巩固：例1.判断下列函数的奇偶性奇函数非奇非偶函数非奇非偶函数既奇又偶函数既奇又偶函数偶函数结论：在对称的定义域内,非零的常数函数是偶函数,等于零的常数函数既是奇函数又是偶函数. 例2.判断函数的奇偶性.解：由题意得即{x|－1≤x