1.3.2函数的奇偶性(公开课)

xy0 26个英文字母分成以下五类AMTUVWYBCDEKWSZHIOXFGJLQRP 1.3.2函数的奇偶性 观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应x的值是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数. 1．偶函数(evenfunction)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示. 观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1) 2．奇函数(oddfunction)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：若函数f(x)具备奇偶性质2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．2、f(x)=f(-x),f(x)=-f(-x)必然有一个成立 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)成立.4.奇函数f(x)若在x=0处有定义，则f(0)=0.5.f(x)=0,则称f(x)为既奇又偶的函数.6.若f(x)为奇函数，则其图像关于原点对称；反之f(x)的图像关于原点对称，则其为奇函数；若f(x)为偶函数，则其图像关于y轴对称；反之f(x)的图像关于y轴对称，则其为偶函数. 例1、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xy0解：画法略相等 xy0相等 7.若f(x),g(x)为I上的奇(偶)函数，则f(x)+(-)g(x)为奇(偶)函数，f(x).g(x)为偶函数.f(x)/g(x)(g(x)不=0)为偶函数.8.若f(x)为I上的奇函数，g(x)为I上的偶函数，f(x).g(x)为奇函数.f(x)/g(x)(g(x)不=0)为奇函数. 例5、判断下列函数的奇偶性：(1)解：定义域为R∵f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数(2)解：定义域为Rf(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(3)解：定义域为{x|x≠0}∵f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)奇函数(4)解：定义域为{x|x≠0}∵f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)∴f(x)偶函数 3.用定义判断函数奇偶性的步骤：（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称（2）再判断f(x)与f(-x)的关系A、若f(-x)=-f(x)则f(x)为奇函数B、若f(-x)=f(x)则f(x)为偶函数 4.判断函数的奇偶性有五种情况：(1)定义域不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(2)或者定义域关于原点对称，但是不满足f(-x)=-f(x)，也不满足f(-x)=f(x)，f(x)是非奇非偶函数(3)定义域关于原点对称，并且f(-x)=-f(x)，f(x)是奇函数(4)定义域关于原点对称，并且f(-x)=f(x)，f(x)是偶函数(5)定义域关于原点对称，并且f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数。 5.课堂练习P36,11.判断下列函数的奇偶性： 练习2.说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4________④f(x)=x-1__________②f(x)=x________奇函数⑤f(x)=x-2__________偶函数③f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________说明：对于形如f(x)=xn的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。 7.本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称３、判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关系式。 思考题:1.已知y=f(x)是偶函数，且在(-∞，0）上是增函数，则y=f(x)在(0,∞)上是（）A.增函数B.减函数C.非单调函数D.单调性不确定2.已知偶函数y=f(x)在（0，4）上是增函数，试比较f(-2),f(-3),f(1)的大小。 同学们再见！