1.3.2函数的奇偶性讲义

1.3.2函数的奇偶性一、对称区间(关于原点对称)[a，b]关于原点的对称区间为[－b，－a](－∞，0)关于原点的对称区间为(0，＋∞)[－1，1]关于原点的对称区间为[－1，1]二、奇函数与偶函数（一）奇函数的定义：对于任意函数f(x)在其对称区间（关于原点对称）内，对于x∈A，都有．f(．－．x．)．＝．－．f．(．x．)．，则f(x)为奇函数。（二）偶函数的定义：对于任意函数f(x)在其对称区间（关于原点对称）内，对于x∈A，都有．f(．－．x．)．＝．f．(．x．)．，则f(x)为偶函数。如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，则我们就说函数f(x)具有奇偶性。（三）判断函数奇偶性的步骤：（1）求函数f(x)的定义域；（2）若函数的定义域不关于原点对称，则该函数不具备奇偶性，此时函数既不是奇函数，也不偶函数；若函数f(x)的定义域关于原点对称，再进行下一步；（3）求f(－x)；（4）根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性；①若f(－x)＝－f(x)，函数是奇函数；②若f(－x)＝f(x)，函数f(x)是偶函数；③若f(－x)≠±f(x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；④若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数，也是偶函数。【．即．f(x)偶．函．数．；．当．a＝．0．时．，．常．数．函．数．既．是．奇．函．数．，．也．是．偶．函．数．。．】．例1：判断下列函数奇偶性。1（1）f(x)＝xx3＋x（3）f(x)＝x1×x1（2）f(x)＝x1（4）f(x)＝13x2＋cosx（5）f(x)＝x【解析】：（1）奇（2）奇（3）非（4）非（5）偶变式练习：判断下列函数的奇偶性。1 2x（1）f(x)＝x×tanx（2）f(x)＝)ln(2x（3）f(x)＝x(xx(x1)x，1x)，00【解析】：（1）偶（2）奇（3）奇注意：1、判断函数奇偶性的步骤（1）求定义域，判断函数定义域是否关于原点对称；（2）计算f(－x)；（3）判断，若f(－x)＝f(x)偶函数，若f(－x)＝－f(x)奇函数，否则为非奇非偶函数。2、直接判断法：偶±偶＝偶；偶×偶＝偶；奇±奇＝奇；奇×偶＝奇。一些重要类型的奇偶函数：（1）f(x)＝xaxa为偶函数，f(x)＝xaxa为奇函数；（2）f(x)＝aaxxaaxx1x（a＞0且a≠1）为奇函数；（3）f(x)＝)a（a＞0且alog(1x≠1）为奇函数；（4）f(x)＝xlog(xx21) a（a＞0且a≠1）为奇函数。三、奇偶函数的性质及应用（一）偶函数的性质：①偶函数的图象关于y轴对称；②f(－x)＝f(x)＝f(︱2x︱)；③偶函数的单调性在其对称区间内的单调性相反；④二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则b＝0。（二）奇函数的性质：①奇函数的图象关于原点对称；②f(－x)＝－f(x)；③奇函数的单调性在其对称区间内的单调性相同；④一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，则b＝0；⑤若．x．＝．0．在．其．定．义．域．内．，．则．有．f．(0．．)．＝．0．。．2432例2：已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝x＋bx＋cx是_______函数。（填奇函数、偶函数、非奇非偶函数）【解析】：偶函数2变式练习1：已知函数f(x)＝ax＋bx＋3a＋b(a≠0)是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝_______，b＝___________。【解析】：130变式练习2：下列函数是奇函数又是增函数的是（）3A：f(x)＝x＋1B：f(x)＝－x【解析】：DC：f(x)＝1xD：f(x)＝x×｜x｜变式练习3：若函数f(x)＝(x1)(xa)x是奇函数，则a＝_______。 2 (【解析】：f(－x)＝－f(x)，则x1)(xa)x＝－(x1)(xa)x，得2＝－x2(a1)xa，故a＝－1 x(a1)xa2例4：已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝x－2x，求f(x)的表达式。2x2x，x0【解析】：f(x)＝2x2x，x02变式练习：已知f(x)是定义在R上的奇函数，，当x＞0时，f(x)＝x－2x－3，求f(x)的解析式。2x2x3，x0【解析】：f(x)＝0x，02x2x3x0，例5：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝2，则f(1)＝_______。【解析】：f(1)＝－22变式练习1：若f(x)是R上的奇函数，当x≤0，f(x)＝2x －x，则f(1)＝_________。【解析】：f(1)＝－3x，则f[f(2)]＝()变式练习2：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝26A：－234B：234C：－2D：2【解析】：D变式练习3：已知f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋4，且g(1)＝2，则f(－1)＝_________。【解析】：f(－1)＝－253变式练习4：若f(x)＝x＋ax＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝_________。【解析】：f(2)＝－262x变式练习5：已知函数f(x)＝ln(14x2)3，则f(lg2)＋f(1lg)＝__________。2【解析】：令f(x)＝g(x)3，g(x)是奇函数，故f(－x)＝g(x)3，f(－x)＝g(x)3，故f(x)＋f(－x)＝6例6：已知f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数且是减函数，满足f(1－a)＋f(1－2a)＞0，求a的取值范围。 3 【解析】：1a11112aa2a1110a23例7：已知偶函数f(x)在区间0,单调递增，则满足f(2x－1)＜f(13)的x取值范围是（）A：(13，23)B：(，23)C：[12，23）D：(23，＋∞)【解析】：︱2x－1︱＜13，则x∈(13，23)A2a变式练习2：设f(x)是R上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数，且有f(21a)2a＜f(321a)，求a的取值范围。【解析】：法一：2a2a1＝1722a2(a)＞0，3a21＝481223(a)＞0332a2a2a1＞3a21，故0＜a＜32a2a2a法二：︱21a︱＞︱3a21︱，则(2a1)22a2＞(321a)，2a(21a)222a2a2－(321＞0，(52a)a)(a3a)＜0，0＜a＜3。变式练习3：函数f(x)（x≠0）是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－12)]＜0的解集。【解析】：由于函数是奇函数，在(0，＋∞)时是增函数，故在(－∞，0)上是增函数，∵f(1)＝0，则f(－1)＝0，则f[x(x－12)]＜f(－1)或f[x(x－12)]＜f(1)，得x(x(xx1212))01或x(x(xx12)1)210或11711222＜x0x＜或＜＜17综上所述：不等式的解集为(11711222，0)(∪，17)例8：已知f(x)是定义在R上的函数，对于任意的x∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(x)≠0。（1）求证：f(0)＝1；（2）求证：函数f(x)是偶函数。【解析】：（1）令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，f(x)≠0，故f(0)＝1；（2）令x＝0，则f(0＋y)＋f(0－y)＝2f(0)f(y)，得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，即f(－x)＝f(x)，故函数f(x)是偶函数。 4 变式练习1：若f(x)的定义域为R，且对任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立。（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）若当x＞0时，f(x)＞0，判断函数f(x)的单调性；（3）若f(8)＝4，求f(－12)的值。【解析】：（1）令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，故函数是奇函数。（2）设a＞b，则a－b＞0，则f(a－b)＞0，则 f(a)＝f(b＋(a－b))＝f(b)＋f(a－b)，即f(a)－f(b)＝f(a－b)＞0，即f(a)＞f(b)。故f(x)在R上是增函数。（3）∵f(8)＝f(4)＋f(4)＝2f(4)＝4f(2)＝8f(1)＝16f(12)，故f(12)＝14，函数是奇函数，∴f(－12)＝－14例9：已知偶函数f(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则f(－3)，f(1)，f(2)的大小关系是____。【解析】：f(1)＜f(2)＜f(－3)变式练习1：设函数f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，若当x[0，6]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为_____________。【解析】：(－3，0)∪(3，6)变式练习2：设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0，2时，f(x)＝x－2x，则不等式f(x)＜3的解集为____。【解析】：[－3，3]变式练习3：已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们f(x)在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式g(x)＜0的解集是_______。【解析】：由奇、偶函数性质作出整个定义域内的图象，f(x)x)g(＜0，即f(x)g(x)＜0故：(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3) 5 课后综合练习1、若f(x)是奇函数，则其图象关于（）A：x轴对称B：y轴对称C：原点对称D：直线yx对称【解析】：C2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么b的值（） 2、已知函数二次函数f(x)＝axA：1B：2C：0D：不确定【解析】C3、下列函数中为偶函数的是（）A：yxB：yxC：23yxD：yx1【解析】：C4、已知函数f(x)2xa是奇函数，则a的值为（）A：1B：2C：1D：0【解析】：D5、已知偶函数f(x)在[0,]上单调递增，则下列关系式成立的是()A：f()f()f(2)B：f(2)f()f()22C：f()f(2)f()D：f()f(2)f()22【解析】：Cy6、若函数yf(x)是奇函数，f(1)3，则f(1)的值为____________。3【解析】：－327、已知f(x)是定义在2,00,2上的奇函数，当x0时，f(x)的O2x图象如右图所示，那么函数值y的取值范围是____________。【解析】：3,22,38、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（）A：增函数且最小值为－5B：增函数且最大值为－5C：减函数且最小值为－5D：减函数且最大值为－5【解析】：B6 9、下列函数是奇函数是（）2A：f(x)＝x2xB：f(x)＝lnxC：f(x)＝1x()D：f(x)＝xcosx3【解析】：D10、下列函数是偶函数是（）x21xcosD：f(x)＝xsinx2B：f(x)＝xsinxC：f(x)＝ex A：f(x)＝x2【解析】：B11、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则（）A：f(1.3.22)＜f(log25)＜f(3)B：f(3)＜f(0.72)＜f(log25)C：f(3)＜f(log25)＜f(0.72)D：f(0.72)＜f(3)＜f(log25)【解析】：0.72＜2＜log25＜3A12、已知f(x)＝ax1xb2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(12)＝25。（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性；（3）求解关于x的不等式：f(t－1)＋f(t)＜0【解析】：f(x)＝x1x2增t111tt11t10＜t＜1213、设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式f(x)f(x)x＜0的解集为（）A：(－1，0)∪(1，＋∞)B：(－∞，－1∪(0，1)C：(－∞，－1∪(1，＋∞)D：(－1，0)∪(0，1)【解析】：f(x)f(x)x＝2f(x)x＜0，即xf(x)＜0【数形结合】D 7