1.3.2函数的奇偶性 (2)

函数函数函数函数1.3.2函数的奇偶性 创设情景:观察图片 观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应x的值是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数. 偶函数(evenfunction)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示. oyx练习：已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象。 观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1) 奇函数(oddfunction)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． ☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，对于定义域内的任意一个x，－x也一定是定义域内的一个自变量。Ox[-b,-a][a,b]（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。若f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。（3）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。（4）按函数奇偶性可以把函数分为四类：奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇且偶函数。 练习.说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4________④f(x)=x-1__________②f(x)=x________奇函数⑤f(x)=x-2__________偶函数③f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________说明：对于形如f(x)=xn的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。 奇偶函数图象的性质(1)、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.(2)、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法.b、判断函数的奇偶性 根据下列函数图象，判断函数的奇偶性-1-110xy-1-110xy-1-110xy奇函数偶函数偶函数图象法12 例.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)∴f(x)为奇函数=2x4+3x2=f(x)∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R☆小结：用定义判断函数奇偶性的步骤:⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 例设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=2x(1-x),求：当x