人教必修高一数学 1.3.2 奇偶性 课件1
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人教必修高一数学 1.3.2 奇偶性 课件1

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时间:2022-08-08

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资料简介
第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性 情景1:观察下列图形,回顾轴对称与中心对称概念及其特征.情景导入 观察图片 这些图形有什么共同点? 情景2:数学中有许多对称美的图形,函数中也有不少具有对称特征的美丽图像,比如等函数图像.f(x)=x2如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称本质呢?这就是本课时学习的函数的奇偶性.教材导读阅读本节教材内容,体会函数奇偶性的概念. 观察下图,思考并讨论以下问题:(1)这两个函数图象有什么共同特征吗?(2)如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢?f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|实际上,对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 观察函数f(x)=x和的图象(下图),你能发现两个函数图象有什么共同特征吗?f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上,对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数. 偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.定义注意:1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性.3、由定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的(即定义域关于原点对称).2、定义中“任意”二字,说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质,它不同于函数的单调性. 例1、判断下列函数的奇偶性:(1)定义域为(-∞,+∞)即f(-x)=f(x)∴f(x)是偶函数.(2)定义域为(-∞,+∞)即f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数.(3)定义域为{x|x≠0}(4)定义域为{x|x≠0}即f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数.即f(-x)=f(x)∴f(x)是偶函数.解:∵f(-x)=(-x)4=f(x)∵f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)∵f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)∵f(-x)=1/(-x)2=f(x) (1)、先求定义域,看是否关于原点对称;(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.用定义判断函数奇偶性的步骤:即f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是否恒成立. 练习:判断下列函数的奇偶性:解:(1)∵f(x)的定义域是R,且∴f(x)是偶函数.(2)∵函数的定义域是R,且f(x)=0,f(-x)=0.∴f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x).∴函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数. ∴函数的定义域[-1,1)解:关于原点不对称,∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)∵f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,-x<0,∴f(-x)=当x<0时,-x>0,∴f(-x)=故f(x)为奇函数.=-x(1+x)=-f(x)(x>0).=-f(x)(x<0),(-x)[1-(-x)]=-x(1-x)(-x)[1+(-x)]综上:f(-x)=-f(x) 解:∵f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,-x<0,∴f(-x)=当x<0时,-x>0,∴f(-x)=故f(x)为奇函数.=-x(1+x)=-f(x)(x>0).=-f(x)(x<0),(-x)[1-(-x)]=-x(1-x)(-x)[1+(-x)]综上:f(-x)=-f(x)法2:∵f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),且故f(x)为奇函数.即f(-x)=-f(x) 例2已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x∈(0,+∞)时,f(x)=x2-2x+3,求f(x)的解析式.解:由已知有:f(-x)=-f(x),x∈R且x∈(0,+∞)时,f(x)=x2-2x+3,设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)+3]=-x2-2x-3.又x=0时,f(-0)=-f(0),∴f(0)=0.综上得: 奇偶函数的性质奇函数的图象关于原点对称,如:偶函数的图象关于y轴对称,如:若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(x)=0

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